Codeforces 1215E Marbles 状压DP

题目链接：https://www.luogu.org/problem/CF1215E

题意：给一个数字序列（长度为4e5），数字大小为（1-20），求每次交换相邻两数字使得所有相同数字在一个线段的最小交换次数

分析：我们知道，如果这道题是让所有数字从小到大排好序的话，直接就是冒泡排序，最小交换次数就是逆序对的数量

这道题只要求了连续而没要求排序，那么我们可以人为的规定一个顺序。

我们用一个20位的二进制字符串表示状态，第i位为1则代表数字i全部排序完毕，我们要的答案很明显就是20个1的二进制字符串了（即1<<20-1）

对于一个确定的状态i，我们已经有一个已经排好了并在前面的集合（集合里包括的数是所有i的二进制为1的颜色），之后我们就将二进制为0的放在它们的最前面（此时我们只考虑那个集合内的颜色和此时选择放在最前面的颜色），那么交换次数就是该颜色和集合内颜色逆序对总和

为了状态转移，我们还得求一个pre[u][v]数组，该数组含义是表示有多少(l,r)满足a[l]=u,a[r]=v,也就是求逆序对

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=4e5+7;
const int N=1e4;
int c[maxn];
ll pre[25][25];//pre[i][j]表示所有颜色j的珠子想要移动到最终位置需要跨过颜色i的珠子的总数 
int cnt[25];
int a[maxn]; 
ll dp[1<<20];//状态为i的情况下交换次数的最小值 
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    //初始化pre数组 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        for(int j=1;j<=20;j++)
            pre[j][a[i]]+=cnt[j];
        cnt[a[i]]++;
    }
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0]=0;//全为0的时候肯定是0 
    for(int i=0;i<(1<<20);i++)
    {
        for(int j=0;j<20;j++)
        {
            if(((i>>j)&1)==0)//即看转为二进制后的第j+1位是否为0
            {
                ll temp=0;
                for(int k=0;k<20;k++)
                {
                    if(((i>>k)&1)!=0)//第k+1位是1，也就是说第k+1中颜色的珠子已经全部移到指定位置了 
                    {
                        temp+=pre[k+1][j+1];
                    }
                }
                dp[i|(1<<j)]=min(dp[i|(1<<j)],dp[i]+temp);
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[(1<<20)-1]);
    return 0;
}