递归讨论（二）

一个智商高的商人，总是会想办法实现利益最大化。现该商人手中有一根长度为n的钢条，如果不作处理卖的话，不太好卖，另外售价不是非常高。但根据该商人的长期销售经验，发现顾客常购买以下几种长度的钢条：

长度	1	2	3	5	6	7
价格	1	3	5	8	12	13

现问：该商人该如何给该钢条分段，才能获得最大的收益呢？

Input:n

Out:max_value

根据算法导论中：

我们记方法p(int num)为长度为num的钢条的最大收益。记i为从长num的钢条下截下来的长度，同时记price[i-1]为长度为i的钢条价值。

下面我们看看算法具体思想：

首先我们得知道，即使它是最大收益，它还是由一段段长度组成的，而且这一段段长度就在上述长度列表中。

其次我们要知道，即然是最大收益max_value，则当去掉一段i之后，num-i长度的最佳收益必然是max_value-price[i];（这句有点绕，请仔细想想）

1、我们考虑几种情况：

若num已经为0了，那么最大收益就为0；

若num>7时，则i的可能取值是{1,2,3,5,6,7};

若num<7时，则i的可能取值是{1,？,？,num};

2、再考虑：

当前长度为num>7，截取长度为i时

截取长度	当前最大收益可能性
1	p[num-1]+price[0]
2	p[num-2]+price[1]
3	p[num-3]+price[2]
5	p[num-5]+price[3]
6	p[num-6]+price[4]
7	p[num-7]+price[5]

 

当前num长度的最大收益就在当前收益的可能之中。嘿嘿，我们取它们值的max不就行了。（最大收益有且仅有这几种可能，不相信的可以自己证明下）

说到这里，我不得不提一个问题：

对于一个很多阶的楼梯，我们上楼时，可能一次跨一步，可能一次跨两步，在快上完的时候，我们是不是要么剩一阶，要么剩两阶啊。可能有人说，我剩0阶，或者说剩3阶。。。的，这种人我只能说，自己面壁去！

同样的道理，对待钢条的事，最后终归剩上述可能的长度。

谁不想当个mvp呢！！！！！！所以当前收益每个可能值为了获得最佳殊荣，当然要把自己变的大大的，当然也不能毫无根据的变吧，从它的构成可能看出，它们的值都是根据变量p[num-i]而变化，所以它们只有把p(num-i)变的大大的来让自己最佳啊。嘿嘿。。。。所以p(num-i)要为num-i长度的最大收益，不然老子不要你，影响我获荣誉。相信到这里，我们也可以明白怎么递归的了，由p(num)问题转化到了p(num-i)的问题。

int get_max(int* price,int* len,int num)    //price指向价格数组，len指向长度数组，num为钢条当前长度
{
    int result=0;
    if(num <= 0)        //当num==0时的情况
        return 0;
    for(int i=1;i<=6;i++)        //for循环遍历的作用正是当前收益几种可能性的体现
    {
        if(num >= len[i-1])//此处的条件判断，为了防止num-len[i-1]不出现负值
        {
            result =  std::max(result,get_max(price,len,num-len[i-1])+price[i-1]);//选出当前收益中的最佳收益
        }
    }
    return result;
}

这样的算法，让我联想起了递归篇一中斐波那契数列，看看复杂度方面来说，是不是有点略类似呢。。。。

还真有点呀。。。。举个例子：

p(30)计算时，我们要计算p(29),p(28),p(27),p(25),p(24),p(23)；然后在计算p(29)时，我们要计算p(28),p(27),p(26),p(24),p(23),p(22);依此类推下去，我了个去的，我们要重复计算的还真是巨量啊。。。。这又与递归一篇的有某些类似啊；

该怎么解决呢。。。。我们可以采取一种记忆机制，把这些已经计算过的值给它计入数组中啊，下次再调用它的时候，我们直接数组中找不就行了。这样就省时省力了，同时也速度擦擦上来了

int get_max(int* price,int* len,int num,int *p)//新增的这个指针p指向一个记录数组，下标为长度num-1，我们用来记录对应长度num下的最大收益
{
    int result=0;
    if(num>=1&&p[num-1]>=0)    //此处判断就起到从记录表中查值作用。
        return p[num-1];
    if(num == 0)//由标记A处的num-len[i]以及其上的if判断,可以看出下次调用get_max时,可能出现num为0的情况
        return 0;
    for(int i=1;i<=6;i++)
    {
        if(num >=len[ i-1])
        {
            result =  std::max(result,get_max(price,len,num-len[i-1],p)+price[i-1]);//标记A处
        }
    }
    p[num-1] = result;
    return result;
}

到此，我们就解决了该钢条分段的问题。但这仅仅只是至顶而下的策略（我的理解就是从大规模到小规模），在下篇中会对该问题的至下而上的策略作以解析。