钉子和小球

钉子和小球

 

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描述

有一个三角形木板,竖直立放，上面钉着n(n+1)/2颗钉子，还有(n+1)个格子（当n=5时如图1）。每颗钉子和周围的钉子的距离都等于d，每个格子的宽度也都等于d，且除了最左端和最右端的格子外每个格子都正对着最下面一排钉子的间隙。
让一个直径略小于d的小球中心正对着最上面的钉子在板上自由滚落，小球每碰到一个钉子都可能落向左边或右边（概率各1/2），且球的中心还会正对着下一颗将要碰上的钉子。例如图2就是小球一条可能的路径。
我们知道小球落在第i个格子中的概率pi=，其中i为格子的编号，从左至右依次为0,1,...,n。
现在的问题是计算拔掉某些钉子后，小球落在编号为m的格子中的概率pm。假定最下面一排钉子不会被拔掉。例如图3是某些钉子被拔掉后小球一条可能的路径。

输入

第1行为整数n（2 <= n <= 50）和m（0 <= m <= n）。以下n行依次为木板上从上至下n行钉子的信息，每行中'*'表示钉子还在，'.'表示钉子被拔去，注意在这n行中空格符可能出现在任何位置。

输出

仅一行，是一个既约分数(0写成0/1)，为小球落在编号为m的格子中的概pm。既约分数的定义：A/B是既约分数，当且仅当A、B为正整数且A和B没有大于1的公因子。

样例输入

5 2
    *
   * .
  * * *
 * . * *
* * * * *

样例输出

7/16

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,x,y=1,j=1;
long long ans[101][101];
char a[101][101],b;
bool f[101][101];
int work(int x){
    int q=1,j=1;
    while(x>q) {
        j++;
        q+=j;
    }
    return j;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    getchar();
    ans[1][n]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans[1][n]*=2;       //最大分母(pow(10,2)==99,所以没用函数)； 
    for(int i=1;i<=n*(n+1)/2;i++){            //读入第i个字符； 
        b=getchar();
        while((b!='*')&&(b!='.')) b=getchar();//遇'*'或'.'跳过； 
        x=work(i);
        if(y!=x) {j=1;y=x;}
        if(b=='.'){f[x][n-x+2*j-1]=1;         //放到与图对应的位置，有'.'特殊标记； 
        j++;}
        if(b=='*'){a[x][n-x+2*j-1]=b;j++;}
    }
    x=1;
    if(f[1][n]){                              //可能从第1行开始对应的一列全被拔出； 
        while (f[x][n]) x=x+2;
        ans[x][n]=ans[1][n];
        ans[1][n]=0;
    }
    for(int i=x+1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=(n-i+2*i);j++){
            if(!f[i][j]&&a[i][j]=='*') ans[i][j]+=ans[i-1][j-1]/2+ans[i-1][j+1]/2;
            //是'*'的话，该处为上方两个值和的1/2； 
            if(f[i][j]) {
                ans[i+2][j]=ans[i-1][j-1]/2+ans[i-1][j+1]/2+ans[i][j];
                ans[i][j]=0;
            }
            //若钉子被拔出，直接落两层，该点归零(排除后效性)； 
        }
    }
    ans[n+1][0]=ans[n][1]/2;//处理第0位置的格子(是边界)； 
    for(j=2;j<=2*n;j+=2) ans[n+1][j]+=ans[n][j-1]/2+ans[n][j+1]/2;
    if(ans[n+1][2*m]==0) printf("0/1\n");
    else{
        while(ans[n+1][2*m]%2==0) {ans[n+1][2*m]/=2;ans[x][n]/=2;}//可以约分的话就约一下；
        printf("%lld/%lld",ans[n+1][2*m],ans[x][n]);
    }
    return 0;
}