优先队列

1、什么是优先队列

       能够完成下列两种操作的数据结构，我们便称之为优先队列。

       ①插入一个数值    ②取出最大(或者最小)的数值(获取数值，并且删除)。

       从严格意义上来说优先队列，并不是队列，因为它并不遵循队列的FIFO(先进先出的原则)。

2、实现优先队列

      我们可以使用一种叫做“堆(heap)”的数据结构来实现优先队列。堆有一个重要的性质就是儿子的值一定不小于父亲。除此之外，树的节点是从上到下、从左到右的顺序紧凑排列的。堆就是如下图的二叉树

        我们向堆插入数值时，首先我们先在堆的尾部插入该值，然后再根据大小关系不断的提升它的位置

 

       删除堆的最小值时，首先把堆的最后一个节点复制到根节点上，然后删除最后一个节点。之后我们根据大小关系不断和交换位置，使其满足堆的定义。

        堆的这两种操作所用的时间，和树的深度成正比。我们不难发现堆的时间复杂度为O(log n).

       现在我们就可以来实现堆了，为了简单一些我们使用数组来实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int max_N = 20;
int heap_size = 0;
int heap[max_N];

void push(int x){
    heap_size++;
    heap[heap_size - 1] = x;
    int i = heap_size - 1;
    while(i > 0){
        int p = (i - 1) / 2;
        if(heap[p] <= x)
            break;
        heap[i] = heap[p];
        i = p;
    }
    heap[i] = x;
}

int top(){
    int ret = heap[0];
    int x = heap[heap_size - 1];
    heap_size--;
    int i = 0;
    while(2 * i + 2 <= heap_size){
        int a = 2 * i + 1, b = 2 * i + 2;
        if(heap[a] > heap[b] && b < heap_size)
            a = b;
        if(x <= heap[a])
            break;
        heap[i] = heap[a];
        i = a;
    }
    heap[i] = x;
    return ret;
}

int main(){
    int tmp;
    while(cin >> tmp){
        push(tmp);
    }
    while(heap_size > 0){
        cout << top() << " ";
    }
    return 0;
}

3、STL之priority_queue

       然而很多时候我们并不需要自己实现堆。C++为我们提供了模板类priority_queue。STL的priority_queue包含在头文件queue中, 由于priority_queue使用堆实现，所以我们可以知道priority_queue的时间复杂度应该也为 O(log n)。不过和上述堆实现的优先队列有些许不同。因为priority_queue取出数值时是最大值。我们来看看priority_queue的用法。

<1>priority_queue的基本操作

      priority_queue我们常用的有四个成员函数分别

bool empty() const;	返回值为true，则该优先队列为空，反之亦然
size_type size() const;	返回优先队列中元素的数量，size_type是unsigned integral type
void pop();	删除队列顶部的元素，也就是根节点
void push (const value_type& val);	将元素加入，优先队列中
const_reference top() const;	返回队列顶部的元素，const_reference为队列顶部的类型

<2>改变priority_queue中的排列顺序

      在很多时候，我们需要的不一定是最大值，也有可能是最小值。这是就需要我们来改变priority_queue中的顺序。方法有两种：

      ①如果加入优先队列的是基本类型，那么我们就可以这样，我们以int为例：

//注意greater<int> >这之间有一个空格  

priority_queue<int, vector<int>, greater<int> >Q;  

     ②对于自定义数据类型的话，我们不论是要改变排序方式，还是不改变都要这样 --  重载 小于( < ) 运算符：

        因为，如果你不重载比较运算符的话，编译器无法比较自定义数据类型的大小关系。然而又因为在priority_queue的内部，只需用到 小于号（<），所以我们只需要重载小于号即可。当然对于自定义数据类型来说，也是必须重载，否则将无法使用priority_queue。重载小于号，我们可以有两种方式，一种用成员函数，一种使用友元函数（这里就不多说了，不会的同学，自己在好好复习复习C++）。

//定义结构，使用运算符重载,自定义优先级1  
struct cmp1{  
    bool operator ()(int &a,int &b){  
        return a>b;//最小值优先  
    }  
};  
struct cmp2{  
    bool operator ()(int &a,int &b){  
        return a<b;//最大值优先  
    }  
};  

注意：如果使用成员函数重载小于号的话，那么要将重载函数变为常成员函数，否则将无法通过编译。

 

优先队列（堆）的主要作用就是两个操作：插入，删除最小。之所以要重新引入这个概念，就是为了能够利用较小的时间复杂度来完成。

 

应用:寻找第k个最小值

可以先对数组用BuildHeap操作，然后执行k次DeleteMin。