三维向量叉乘推导

一直以来，我都记不住向量叉乘的结果，每次都要查询。其根本原因在于，我没有去研究过叉乘是如何推导出来的。于是，这次想彻底解决一下。首先要感谢维基百科，它已经把所有问题都描述清楚了。

http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

 

而下面的文字，只是我的读书笔记，以加深自己的印象。

 

首先我们知道 ，对于向量u和v, u x v的结果，是得到一个既垂直于u又垂直于v的向量,假设记作n.

则有下面公式

n = u x v;

而n的方向，是由右手法则决定的。 即伸出右手，四个手指方向从u绕到v. 此时，大姆指的方向，就是n的方向。 我们通常叫做右向量。

引用一下维基百科的图来说明问题，有兴趣的兄弟可以照图比划一下。 （注：图中向量是用的a x b来表示）

 

有了上面的知识，我们继续向下看。

我们假设向量 u,v,n分别用三个标量来表示。即

u = (Xu,Yu,Zu)

v = (Xv,Yv,Zv)

n = (Xn,Yn,Zn)

则，它们的关系为

Xn = Yu*Zv – Zu*Yv;

Yn = Zu*Xv – Xu*Zv;

Zn = Xu*Yv – Yu*Xv;

即 n = (Yu*Zv – Zu*Yv,Zu*Xv – Xu*Zv,Xu*Yv – Yu*Xv);

而为了验证n与u和v的垂直性，可以使用点乘进行

点乘法则比这个简单多了， u*v = (Xu*Xv + Yu*Yv + Zu*Zv) = dotUV;

如果两个向量垂直，则dotUV = 0;

代入验证一把

u*n = (Xu*(Yu*Zv – Zu*Yv) + Yu*(Zu*Xv – Xu*Zv) + Zu*(Xu*Yv – Yu*Xv));

      = Xu*Yu*Zv – Xu*Zu*Yv + Yu*Zu*Xv – Yu*Xu*Zv + Zu*Xu*Yv – Zu*Yu*Xv;

把正负号的因式仔细比对一下，发现刚好可以低消。 结果为0.

v*n 同理可证。

于是，也验证了n与u,v垂直的特性。

 

 

如果只是为了应用的话，走到这一步就可以停下了。后面的知识，只是为了满足一下好奇心。

那我们就来看看，这个结论是怎么来的呢？ 我们接着来推导。

为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量。

i,j,k.

i,j,k满足以下特点

i = j x k; j = k x i; k = i x j;

k x j = –i; i x k = –j; j x i = –k;

i x i = j x j = k x k = 0; (0是指0向量）

由此可知，i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是 i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)。

 

好，那对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示

u = Xu*i + Yu*j + Zu*k;

v = Xv*i + Yv*j + Zv*k;

 

那么 u x v = (Xu*i + Yu*j + Zu*k) x (Xv*i + Yv*j + Zv*k)

               = Xu*Xv*(ixi) + Xu*Yv*(i x j) + Xu*Zv*(i x k) + Yu*Xv*(j x i) + Yu*Yv*(j x j) + Yu*Zv*(j x k) + Zu*Xv*( k x i ) + Zu*Yv(k x j) + Zu*Zv(k x k)

由于上面的i,j,k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

u x v = (Yu*Zv – Zu*Yv)*i + (Zu*Xv – Xu*Zv)j + (Xu*Yv – Yu*Xv)k;

于是，在i,j,k构成的坐标系中。集就是上面的结果。

当i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)时，我们通常省略i,j,k的写法。最终也就得到了我们的右向量。

 

叉乘的意义

  叉乘表示垂直于uxv的右向量。

使用的地方

  可以通过叉乘，修正向量关系，从而构建坐标系。 常见的有 摄相机矩阵和TBN空间转换矩阵的构建。

 

 

叉乘的矩阵表示法。

 

很多书上，包括 3D游戏大师编程技巧 上面，都是用的矩阵表示法来说明叉乘。

如下。

它对应的矩阵表示法为

求其代数余子式，可以表示为如下

有了这个，那我们合并公因式i,j,k，则可以得到矩阵表示法

 

到此，叉乘的内容基本OK了。 值得说明的是，如果对方程组表示成矩阵不熟悉，就会感到不习惯，但是如果多多练习，我想应该是会习惯成自然吧。。。