青蛙跳台阶问题——斐波那契数列的演进

（1）一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

（2）一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

 

分析：1）当n = 1， 只有1中跳法；当n = 2时，有两种跳法；当n = 3 时，有3种跳法；当n = 4时，有5种跳法；当n = 5时，有8种跳法；.......

        规律类似于Fibonacci数列

                           

代码如下：

 

int Fib(int n)
{
    if (n <= 0)
    {
        cout << "error!" << endl;
        return -1;
    }

    if (1 == n)
    {
        return 1;
    }
    else if (2 == n)
    {
        return 2;
    }
    else
    {
        return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
    }
}

 

 2) 用Fib(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，青蛙一次性跳上n阶台阶的跳法数1(n阶跳)，设定Fib(0) = 1；

 

       当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;

 

       当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;

 

       当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(3-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有Fib(3-3)中跳法

 

        Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;

 

       当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法..........................第一次跳出n阶后, 后面还有                Fib(n-n)中跳法.

 

       Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)

 

      又因为Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)

 

      两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)         =====》  Fib(n) = 2*Fib(n-1)     n >= 2

 

      递归等式如下：