[Northern Eurasia Finals Online 2020]D. Down We Dig（记忆化搜索，博弈）

[Northern Eurasia Finals Online 2020]D. Down We Dig（记忆化搜索，博弈）

题面：

题意：

有一个高度为\(\mathit n\)的颜色方格，每一行有8个字符，其中‘W'代表白色，’R'代表红色。

现在要求你输出\(\mathit n\)个数，其中第\(\mathit k\)个数代表\([1,k]\)为被激活的行的博弈游戏结果。

游戏规则如下：

最初一个手帕放在第\(\text 1\)行，你可以将其按照下列法则向下移动：

对于每一行\(i\in[1,n]\)，你可以移动到\(j\in[i+1,min(i+8,n)]\)的话当且仅当第\(\mathit i\)行和第\(\mathit j\)行的相同颜色方块个数\(num\)满足：\(j-i\leq num\)。

且只能移动到被激活的行，如果某个玩家无法移动，则输掉了该厂比赛。

双人均采用对其最优策略的。输出中1代表先手必赢，2代表后手必应。

思路：

理解到正确题意后容易想到一个\(O(n^2)\)的解法：

即对于第\(\mathit k\)轮游戏，当某个玩家接手到手帕在第\(\mathit k\)行时，该玩家就输掉了该轮比赛。

于是对于每一个\(\mathit k\)，我们设个设\(sg[k]=0\)，代表第\(\mathit k\)行为必输状态，然后枚举\(k-1\)到\(\text 1\)，

进行利用sg函数状态转移，即可求出\(sg[1]\)，即该轮游戏的结果。

显然该题的数据范围不允许\(O(n^2)\)通过，我们需要考虑优化。

通过分析可以发现，设\(n=3e5\)，如果对于某一个位置\(pos\)，若\([pos,pos+7]\)这段区间的\(sg\)数值是固定的，

无论\(sg[j],j\in[pos+7,n]\)取值如何，\(sg[1]\)一定是固定不变的。

因为某一个状态只与其后面至多\(\text 8\)个位置有关。

那么我们不访在\(O(n^2)\)的暴力算法基础之上，加上\(dp[i][state]\)代表到第\(\mathit i\)行，\([i,i+7]\)这8个位置的sg数值信息压缩为二进制状态\(state\)时的\(sg[1]\)的数值记忆化。则可以将时间复杂度降为\(O(n*2^8)\)，是可以通过该题的。

实现方法：

通过深度优先搜索函数\(dfs(int\ pos,int \ now)\) ，其返回值即为\(dp[pos][now]\).

当\(pos=1\)时，只需要看\(now\)的二进制最低位信息。

否则：如果该状态之前已经出现过，即已经被存在（记忆化）在查找表里了，直接返回数值即可。

第一次访问该状态的话：我们计算\(pos-1\)位置是否有和\(now\)中压缩的必败节点有连边（移动关系）。

若有则表明\(pos-1\)位置是一个必胜点，抹掉\(pos+7\)的节点信息，加上\(pos-1\)的节点信息后得到\(next\_state\)。转移到\(dfs(pos-1,next\_state)\)即可。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x)  if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
const int maxn = 1000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
int n;
char s[300000 + 10][10];
int e[300000 + 10];
const int maxstate = (1 << 8) - 1;
int dp[300000 + 10][maxstate + 1];
// now= [pos,pos+7]'s win/lose information
// 0 - lose
// 1 - win
int dfs(int pos, int now)
{
	if (pos == 1)
	{
		return (now & 1) ? 1 : 2;
	}
	if (dp[pos][now] != 0)
	{
		return dp[pos][now];
	}
	int sign = ((~now)&e[pos - 1]) > 0 ? 1 : 0;
	int next_state = (now << 1)&maxstate | sign;
	return dp[pos][now] = dfs(pos - 1, next_state);
}
int main()
{
#if DEBUG_Switch
	freopen("C:\\code\\input.txt", "r", stdin);
#endif
	//freopen("C:\\code\\output.txt","w",stdout);
	n = readint();
	repd(i, 1, n)
	{
		scanf("%s", s[i]);
	}
	repd(i, 1, n)
	{
		repd(j, i + 1, min(n, i + 8))
		{
			int temp = 0;
			repd(k, 0, 7)
			{
				temp += s[i][k] == s[j][k];
			}
			if (temp >= j - i) {
				e[i] |= 1 << (j - i - 1);
			}
		}
	}
	repd(i, 1, n)
	{
		printf("%d", dfs(i, 254) );
	}
	printf("\n");
	return 0;
}