2020-CCPC- 长春站 - J. Abstract Painting（状态压缩dp）

2020-CCPC- 长春站 - J. Abstract Painting（状态压缩dp）

题面：

题意：

给定一个整数\(\mathit n\)，让你在二维平面上画圆，需要满足以下要求：

1、 圆心都在x轴上的整数点。

2、所有圆上的点的x坐标都应该在范围：\([0,n]\)

3、圆的半径需要是一个正整数，且不超过5

4、任意两个圆最多只能有1个交点。

思路：

考虑到任意两圆的位置关系只能是以下三种之一：

1、包含。2、内切。3、外切。

那么我们可以把圆当做类似括号的东西，只考虑左右括号的关系即可。

因为每一个圆的左括号对右边至多有9位影响（第10位最多为相切关系，不应该合法性。）

那么我们考虑到状态压缩动态规划来解决本问题：(为了方便解决本问题，我们把所有横坐标都右移一位。)

• 设状态：

  \(dp[i][j]\)代表到第i个位置，\([i-9,i]\)是否被圆包含的二进制状态为\((j)_2\)的方案数。

其中二进制信息\((j)_2\)的第\(\mathit k\) 位为1，代表点\(i-k\)被包含（不能作圆的左括号），反而反之。

注意这里的包含，不包括圆与x轴相交的两点，原因还是因为交点最多为相切关系，不应该合法性。

例如圆心在\((2,0)\)，半径为\(\text 1\)的圆只有点\(\text 2\) 被包含。

• 考虑初始状态：

  因为我们已经整体右移了一位，那么0点原指-1点，我们设\(dp[0][2^{10}-1]=1\)，即代表整个坐标系的x轴负值部分都不能作圆的左括号点。

• 考虑转移：

  我们枚举\(i\in[1,n+1]\)代表当前考虑的位置，\(j\in[0,2^{10}-1]\)代表考虑从\(i-1\)的这个状态能否转移到当前位置。

  枚举\(k\in[0,2^5-1]\)代表当前以\(\text i\)点为右括号，半径信息为\(pos_k\)的圆。

  \(info_k\)是根据\(pos_k\)中半径最大的圆来确定点的被包含状态。

  如果\(j\&pos_k\)则代表会有圆有大于一个交点的相交，则不转移。

  同时用\(pos_k\)来判断时候包含了数据输入中的固定圆。

  \(((j \| info[k])<< 1)\&maxstate\) 代表从\(i-1\)的\(\mathit j\) 状态 加入了信息为\(\mathit k\) 的圆后相对于点\(\mathit i\) 的点被包含信息。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x)  if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
const int maxn = 1000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
int n;
int k;
int pos[32];
int info[32];
int maxstate = (1 << 10) - 1;
int dp[1010][(1 << 10)];
std::vector<int> v[1010];
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
#if DEBUG_Switch
	freopen("C:\\code\\input.txt", "r", stdin);
#endif
	//freopen("C:\\code\\output.txt","w",stdout);
	n = readint();
	k = readint();
	repd(i, 1, k)
	{
		int x = readint();
		int r = readint();
		v[x + 1 + r].push_back(2 * r);
	}
	memset(info, -1, sizeof(info));
	for (int i = 1; i < 32; ++i)
	{
		int temp = 0;
		for (int j = 4; j >= 0; --j)
		{
			if ((i >> j) & 1)
			{
				temp |= (1 << (j * 2 + 1));
				if (info[i] == -1)
				{
					info[i] = (1 << (j * 2 + 1)) - 1;
				}
			}
		}
		pos[i] = temp;
	}
	pos[0] = info[0] = 0;
	dp[0][maxstate] = 1;
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
	{
		for (int j = 0; j <= maxstate; ++j)
		{
			for (int k = 0; k < 32; ++k)
			{
				int flag = 0;
				for (auto r : v[i])
				{
					if (!(pos[k] & (1 << r - 1)))
					{
						flag = 1;
					}
				}
				if (flag || (j & pos[k]))
				{
					continue;
				}
				int now = ((j | info[k]) << 1)&maxstate;
				dp[i][now] += dp[i - 1][j];
				dp[i][now] %= mod;
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	repd(i, 0, maxstate)
	{
		ans += dp[n + 1][i];
		ans %= mod;
	}
	printf("%d\n", ans );
	return 0;
}