ZOJ 3988 Prime Set （匈牙利算法，二分图最大匹配）

ZOJ 3988 Prime Set （匈牙利算法，二分图最大匹配）

题面：

思路：

其实该题是个假题，数据太弱了，至于原因稍后讲。

我们建立一个含有\(\mathit n\)个节点的二分图，其中\(a_i\)是奇数的点是在二分图的左部分，是偶数的点是在二分图的右部分。

然后我们知道除了\(a_i=a_j=1\)的节点，所有\(a_i+a_j\)是质数的节点都是一个奇数+一个偶数，

那么我们将满足\(a_i+a_j\)是质数的点对\((i,j)\) 建立一个边，其中\(a_i=1\)的可以在左部分内部建边。

在不建立重复边的情况下，用匈牙利算法算出最大匹配\(num\)。

如果\(k\leq num\)，则答案为\(2*k\)，即选择\(\mathit k\)个互不相交的集合即可。

否则表明，互不相交的集合个数小于k个，那么从剩下点中选出和一写完美匹配的集合有交集的点加入即可。

那么该题就做完了。

为什么说这题是个假题呢？我们知道匈牙利算法的时间复杂度是\(O(V*E)\)，\(\mathit V\)是节点数，\(\mathit E\)是总边数。

根据题面的数据范围，如果所有\(a_i=1\)，那么会有\(n*(n-1)/2\)个边，匈牙利算法时间复杂度会成为\(O(n^3)\)，显然会TLE，并且本机测了一下需要跑5s以上，而该代码却能通过本题。

可能是因为数据太弱了，但是网上并没有找到更优的解法。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x)  if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') { fh = -1; } c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') { tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); } return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') { fh = -1; } c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') { tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); } return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
const int maxn = 3010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
int n, k;
int a[maxn];
int no_prime[2000010];
std::vector<int> v[maxn];
int linked[maxn];
int vised[maxn];
bool dfs(int u)
{
    vised[u] = 1;
    for (auto x : v[u]) {
        if (vised[x]) {
            continue;
        }
        vised[x] = 1;
        if (linked[x] == -1 || dfs(linked[x])) {
            linked[x] = u;
            linked[u] = x;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}
int hungarian()
{
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (linked[i] == -1) {
            repd(j, 1, n) {
                vised[j] = 0;
            }
            if (dfs(i)) {
                res++;
            }
        }
    }
    return res;
}
int main()
{
#if DEBUG_Switch
    freopen("D:\\code\\input.txt", "r", stdin);
#endif
    //freopen("D:\\code\\output.txt","w",stdout);
    int t;
    for (int i = 2; i < 2000010; ++i) {
        if (no_prime[i] == 1) {
            continue;
        }
        for (int j = i + i; j < 2000010; j += i) {
            no_prime[j] = 1;
        }
    }
    t = readint();
    while (t--) {
        n = readint();
        k = readint();
        repd(i, 1, n) {
            a[i] = readint();
            linked[i] = 0;
            v[i].clear();
        }
        repd(i, 1, n) {
            repd(j, i + 1, n) {
                if (no_prime[a[i] + a[j]] == 0) {
                    v[i].push_back(j);
                    v[j].push_back(i);
                    linked[i] = linked[j] = -1;
                }
            }
        }
        int max_match = hungarian();
        // printf("%d\n", max_match );
        if (max_match >= k) {
            printf("%d\n", 2 * k );
        } else {
            int cnt = 0;
            repd(i, 1, n) {
                if (linked[i] == -1) {
                    cnt++;
                }
            }
            int ans = max_match * 2 + min(cnt, k - max_match);
            printf("%d\n", ans );
        }

    }

    return 0;
}