Amphiphilic Carbon Molecules [UVA - 1606 ]-(几何，极角排序)

Amphiphilic Carbon Molecules [UVA - 1606 ]-(几何，极角排序)

题面：

https://vj.z180.cn/dca67621ff558706ee979b5269632324?v=1604043406

题意：

题面特别啰嗦，

简化的题意就是：

在一个二维平面给定\(N\leq 10^3\) 个点，有黑点和白点，现在你而可以在平面上作一条直线，将平面化为两个部分，直线上的点可以分到任意一方，现在问你最优的画线时，平面一个部分中的白点加上另一部分中的黑点的个数最大。

思路：

首先，对于最优的直线，我们一定可以将其旋转到经过至少两个给定的点且答案不变（因为直线上的点可以分到任意一方）。

那么我们可以枚举所有直线，这样直线的个数量级在\(N^2\)，那么我们如何快速求出每一个直线的答案值呢？

考虑到两点确定一条直线，那么我们先枚举其中一个点\(a_x\)。

并与剩下的\(n-1\)个点分别建立起点为\(a_x\)的向量，并求出极角。

注意，这部分建立向量时，对于黑点，我们可以将其向量坐标转为相对于原点对称的点，这样不会影响答案的正确性。因为选择白色点的平面部分会有黑色点映射过来当作白色，白色点的平面部分中的黑点会映射到另一个平面中。

然后对于极角进行升序排序，一点点旋转直线，同时维护多少向量点在该直线的向量的左侧，更新答案即可。

注意：不能直接通过比较极角相同来判断共线/在左侧，这样精度会非常第，考虑向量的叉积的符号即可。

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x)  if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
const int maxn = 1010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
struct point
{
	int x, y;
	double rad;
	point() {}
	point(int xx, int yy)
	{
		x = xx; y = yy;
	}
	bool operator < (const  point& b) //比较函数，对点的极角进行排序
	{
		return rad < b.rad;
	}
};
int xx[maxn];
int yy[maxn];
int col[maxn];
int n;
bool left(point & a, point & b)
{
	return a.x * b.y - a.y * b.x >= 0;
}
int main()
{
#if DEBUG_Switch
	freopen("C:\\code\\input.txt", "r", stdin);
#endif
	//freopen("C:\\code\\output.txt","w",stdout);

	while (~scanf("%d", &n))
	{
		if (n == 0)
			break;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			scanf("%d %d %d", &xx[i], &yy[i], &col[i]);
		}
		std::vector<point> v;
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			v.clear();
			for (int j = 1; j <= n; ++j)
			{
				if (i == j)
					continue;
				point now = point(xx[j] - xx[i], yy[j] - yy[i]);
				if (col[j] == 1)
				{
					now.x *= -1;
					now.y *= -1;
				}
				now.rad = atan2(now.y, now.x);
				v.push_back(now);
			}
			sort(ALL(v));
			int l = 0;
			int r = 0;
			int k = sz(v);
			int sum = 2;
			for (; l < k; ++l)
			{
				if (r == l)
				{
					r++;
					r %= k;
					sum++;
				}
				while (l != r && left(v[l], v[r]))
				{
					r++;
					r %= k;
					sum++;
				}
				sum--;
				ans = max(ans, sum);
			}
		}
		printf("%d\n", ans );
	}
	return 0;
}