[Educational Codeforces Round 32] -G. Xor-MST（01字典树，分治）

[Educational Codeforces Round 32] -G. Xor-MST（01字典树，分治）

题意：

给定一个含有\(\mathit n\)个节点的完全图，每一个节点有个数字\(a_i\)，节点\(\mathit i\)和节点\(\mathit j\)之间的边权为\(a_i\oplus a_j\)。

让你计算该完全图的最小生成树的权重。

思路：

先将所有数\(a_i\)加入01字典树。

例如样例1，放入字典树是这样的，（高位全是0，我就不画了）。

在字典树中，每一个分叉，会把数集分成\(\text 2\)个交集为空的集合。

例如第一个分叉：将数分为\(\{5,4\},\{3,2,1\}\)这两个集合。

而一颗生成树的联通的，为了让生成树的重量最小，那么这两个集合\(S_1,S_2\)之间必须要有一个边，且边的边权有一个特点：

假设它在字典树的第\(dep\)高度分开，那么他们的边权二进制表示中，第\(dep\)位一定为\(\text 1\)，比\(dep\)高的位一定为\(\text 0\)，比\(dep\)低的位的值，只需要找到两个数\(x,y,x\in S_1,y\in S_2\)，\(x\oplus y\)即为比\(dep\)低的位的值。为了让权值尽量小，我们可以枚举一个集合中的每一个数，去另一边询问能得到的最小异或值（01字典树的最本质功能），找到能得到的最小值加上\(2^{dep}\)就是这两个集合联通起来的最小权值。

对于每一个分叉我们都这样处理，就转成了一个分治的算法（以第\(dep\)位是否为1分成不同的集合，不同集合再继续这样递归处理。）

我们自顶而下的分治，从低位开始向上合并（这里的贪心保证了答案的正确性。），每两个集合联通后合并为一个集合，传向上层，继续合并。

这样我们上图中最底层的\(\mathit n\) 个数最后就会合并为一个集合，中间连的所有边就是最小生成树的边。加起来求和即可。

优化： 我们两个集合合并时，枚举集合大小较小的那一个集合，可以大大的降低时间复杂度。

时间复杂度分析：

考虑每一层最多会枚举多少个节点，总数为\(n/2+n/4*2+n/8*4+\dots\)，即每一层都会枚举\(\frac{n}{2}\)个数，而最多只有\(log_2 {max_{i=1}^n{a_i}}\) 层，所以时间复杂度为\(O(n*30)\)

而对于每一个数，我们要去另一个集合的01-tire中询问异或最小值，这部分操作也是\(O(log_2{max_{i=1}^n{a_i}})\)的时间复杂度。

所以整体时间复杂度为：\(O(n*log_2^2 {max_{i=1}^n{a_i})}\)

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x)  if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
const int maxn = 200000 + 10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
int n;
int a[maxn];
int tree[maxn * 32][2];
int p[maxn*32];
std::vector<int> v[maxn];
ll ans = 0ll;
int tot = 1;
void insert_(int x, int id)
{
    int rt = 1;
    for (int i = 30; i >= 0; --i)
    {
        int &nex = tree[rt][(1 & (x >> i))];
        if (nex == 0)
            nex = ++tot;
        rt = nex;
    }
    p[rt] = id;
    v[id].push_back(x);
}
int query(int x, int rt, int dep)
{
    int res = 1 << dep;
    for (int i = dep - 1; i >= 0; --i)
    {
        int nex = tree[rt][(1 & (x >> i))];
        if (!nex)
        {
            nex = tree[rt][1 ^ (1 & (x >> i))];
            res |= (1 << i);
        }
        rt=nex;
    }
    return res;
}
void dfs(int rt, int dep)
{
    if (!rt || !dep)
    {
        return ;
    }
    int lson = tree[rt][0];
    int rson = tree[rt][1];
    dfs(lson, dep - 1);
    dfs(rson, dep - 1);
    if (!lson || !rson)
    {
        p[rt] = p[lson + rson];
        return ;
    }
    int rid = p[rson]; int lid = p[lson];
    if (sz(v[rid]) > sz(v[rid]))
    {
        swap(rid, lid);
        swap(rson, lson);
    }
    int m = sz(v[rid]);
    int temp = 1 << 30;
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        temp = min(temp, query(v[rid][i], lson, dep - 1));
        v[lid].push_back(v[rid][i]);
    }
    v[rid].clear();
    v[rid].resize(0);
    ans += temp;
    p[rt] = lid;
}
int main()
{
#if DEBUG_Switch
    freopen("C:\\code\\input.txt", "r", stdin);
#endif
    //freopen("C:\\code\\output.txt","w",stdout);
    n = readint();
    repd(i, 1, n)
    {
        a[i] = readint();
    }
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    insert_(a[1], 1);
    repd(i, 2, n)
    {
        if (a[i] != a[i - 1])
        {
            insert_(a[i], i);
        }
    }
    dfs(1, 31);
    printf("%lld\n", ans );
    return 0;
}