[2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛一] 1005 -Rotate （期望，树，推公式）

[2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛一] 1005 -Rotate （期望，树，推公式）

比赛链接：

http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_show.php?cid=889

题意：

思路：

因为\(\mathit a\)序列是单调不减的，所以不存在\(i,j=i+1\)，使其第\(\mathit j\)个环上的一个黑块与第\(\mathit i\)个环上的多个黑环接触。

反而第\(\mathit i\)个环上的黑块可能会与第\(i+1\)上的多个黑块有接触。

所以如果把每一个黑色块当成节点，两个黑色块有接触就将其连边，构造了一个森林（若干个树）。

而我们知道对于一个森林：

联通块的个数 \(num\)= 点数\(\mathit V\) - 边数\(\mathit E\)。

点数我们是可以很简单的基础得出的\(V=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2}\)

所以问题转化为了求边的数量，即有多少对黑块相互接触。

这里我是通过手画多组样例得出的第\(\mathit i\)层和第\(i+1\)层的边数期望为\(\frac{a_i+a_{i+1}}{4}\)。具体的数学证明我也没找到。

然后带入上式子可以得到\(num=(a_1+a_n)/4\)。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
// #include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x)  if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
const int maxn = 1000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
int a[maxn];
const ll mod = 1e9 + 7;
int main()
{
#if DEBUG_Switch
    freopen("C:\\code\\input.txt", "r", stdin);
#endif
    //freopen("C:\\code\\output.txt","w",stdout);
    int t;
    t = readint();
    while (t--)
    {
        int n = readint();
        repd(i, 1, n)
        {
            a[i] = readint();
        }
        ll ans = 1ll * (a[1] + a[n]) * powmod(4ll, mod - 2ll, mod) % mod;
        printf("%lld\n", ans );
    }

    return 0;
}