Comet OJ - Contest #2 B 她的想法、他的战斗（概率 ＋ 数学）

题目描述

 

Takuru 是一名情报强者，所以他想利用他强大的情报搜集能力来当中间商赚差价。

Takuru 的计划是让 Hinae 帮他去市场上买一个商品，然后再以另一个价格卖掉它。Takuru 会给 Hinae 一定的钱 p​p​。(p​p​ 是一个非负的实数)

这个商品的市场价是一个在 [l, r]​[l,r]​ 内均匀随机的实数。

如果 p \geqslantp⩾ 市场价，那么 Hinae 会买下这个商品，然后私吞剩下的钱。也就是说，Takuru 以 pp 的代价买来了这个商品。

如果 p <p< 市场价，那么 Hinae 既不会买下商品，又不会私吞任何钱。也就是说，Takuru 的利润为 0​0​。

当 Hinae 买下了商品后，Takuru 会生成一个在 [L, R][L,R] 内均匀随机的实数 qq，并把商品以 qq 的价格卖掉。那么 Takuru 的利润就是 q - p​q−p​。

Takuru 想要获得最多的利润，所以你要帮 Takuru 确定给 Hiane 的钱 pp，使得 Takuru 的期望利润最大。请求出最大的期望利润。

 

 

 

输入描述

 

第一行两个正整数 ll 和 rr (1\leqslant l < r \leqslant 20001⩽l<r⩽2000)。

第二行两个正整数 LL 和 RR (1\leqslant L < R \leqslant 20001⩽L<R⩽2000)。

 

输出描述

 

一个实数，表示最大的期望利润。(四舍五入后保留 44 位小数，输出超过 44 位或少于 44位都会获得 Wrong Answer。)

如果答案为 00，请不要输出多余的负号。

若答案为 vv，保证 v+10^{-6}v+10−6 以及 max(v-10^{-6},0)max(v−10−6,0) 四舍五入后保留 44 位小数的结果不会改变。

 

样例输入 1 

400 1200
600 1800

样例输出 1

200.0000

样例输入 2 

1999 2000
1 2

样例输出 2

0.0000


思路：
因为主人公的售价是　Ｌ～Ｒ　所以　主人公售价的期望是　（Ｌ＋Ｒ）／２
我们给买手的钱是ｐ，那么我们主人公的利润就是　（（Ｌ＋Ｒ）／２－ｐ）
我们知道　期望＝值＊概率
利润期望＝利润值＊概率

我们来看下概率，
Ｐ必须取到　ｌ和ｒ之间，因为如果ｐ大于ｒ，那么不是最优的选择，因为可以选择ｒ可以产生更好的利益。
而ｐ小于ｌ的话，买手会无法购物商品，所以也不可以。
那么ｐ就在　ｌ和ｒ之间了，
买手能买商品的时候当且仅当　商品的市场价　恰好小于等于ｐ，也就是市场价ｙ小于ｐ时，可以购买，
那么ｙ的范围时　ｌ～ｐ，总范围是ｌ～ｒ，所以概率是　（ｐ－ｌ）／（ｒ－ｌ）
期望就是

（（Ｌ＋Ｒ）／２－ｐ）＊（ｐ－ｌ）／（ｒ－ｌ）

公式就是一个关于ｐ的二次函数，并且ａ是小于等于０的，有极大值，我们判定对称轴是否在ｌ到ｒ之间，
如果在，那么函数的极值就是答案，如果不在，那么取区间的左右极限的较大值是答案。
注意处理以下０＊负数＝－０的情况，

细节见ｃｏｄｅ

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define rt return
#define dll(x) scanf("%I64d",&x)
#define xll(x) printf("%I64d\n",x)
#define sz(a) int(a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define gg(x) getInt(&x)
#define db(x) cout<<"== [ "<<x<<" ] =="<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
ll powmod(ll a,ll b,ll MOD){ll ans=1;while(b){if(b%2)ans=ans*a%MOD;a=a*a%MOD;b/=2;}return ans;}
inline void getInt(int* p);
const int maxn=1000010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
double l,r;
double L,R;
int main()
{
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\in.txt","r",stdin);
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\out.txt","w",stdout);
    
    gbtb;
    cin>>l>>r;
    cin>>L>>R;
    double t=(L+R)/2.00;
    double k=(r-l);
    double a=-1.00/k;
    double b=(t+l)/k;
    double c=-l*t/k;
    double x=-b/(2.00*a);
    double ans;
    if(x>=l&&x<=r)
    {
        ans=(4*a*c-b*b)/(4*a);
        // db(a*x*x+b*x+c);
    }else
    {
        ans=a*l*l+b*l+c;
        ans=max(ans,a*r*r+b*r+c);
    }
    ans+=eps;
    ans=max(0.0,ans-eps);
    cout<<fixed<<setprecision(4)<<ans<<endl;
    
    return 0;
}

inline void getInt(int* p) {
    char ch;
    do {
        ch = getchar();
    } while (ch == ' ' || ch == '\n');
    if (ch == '-') {
        *p = -(getchar() - '0');
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 - ch + '0';
        }
    }
    else {
        *p = ch - '0';
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 + ch - '0';
        }
    }
}