4. Median of Two Sorted Arrays(Hard 经典的二分和分治算法)

 

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

 

 

看到这道题的通过率很诧异，感觉这道题挺容易的，因为其实它的思想还是很简单的。

1)最笨的方法去实现，利用排序将两个数组合并成一个数组，然后返回中位数,这种方法应该会超时。

2)利用类似merge的操作找到中位数，利用两个分别指向A和B数组头的指针去遍历数组，然后统计元素个数，直到找到中位数，此时算法复杂度为O(n)。

我一开始想到的就是2)这种方法，但是真正的写起代码来，才发现有很多的细节需要去考虑，挺繁琐的。

我们仅需要第k大的元素，不需要排序这个复杂的操作：可以定义一个计数器m，表示找到了第m大的元素；同时指针pa，pb分别指向数组A，B的第一个元素，使用merge-sort的方式，当A的当前元素小于B的当前元素时:pa++, m++，当*pb < *pa时，pb++, m++。最终当m等于k时，就得到了第k大的元素。时间复杂度O(k)，但是当k接近于m+n时，复杂度还是O(m+n);

3)

从题目中的要求O(log(m+n))可以联想到肯定要用到二分查找的思想

那么有没有更好的方案？我们可以考虑从k入手。如果我们每次能够删除一个一定处于第k大元素之前的元素，那么需要进行k次。但是如果我们每次都能删除一半呢？可以利用A，B有序的信息，类似二分查找，也是充分利用有序。 
假设A 和B 的元素个数都大于k/2，我们将A 的第k/2 个元素（即A[k/2-1]）和B 的第k/2个元素（即B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设k 为偶数，所得到的结论对于k 是奇数也是成立的）： 
- A[k/2 - 1] == B[k/2 - 1];    

（就是这里感觉不太明白，如果k==3,感觉怎么凑都不对啊！！！！！）

解释：这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。
- A[k/2 - 1] > B[k/2 - 1]; 
- A[k/2 - 1] < B[k/2 - 1]; 
如果A[k/2 - 1] < B[k/2 - 1] ，意味着 A[0] 到 A[k/2 - 1] 的元素一定小于 A+B 第k大的元素。因此可以放心的删除A数组中的这k/2个元素； 
同理，A[k/2 - 1] > B[k/2 - 1];可以删除B数组中的k/2个元素； 
当A[k/2 - 1] == B[k/2 - 1] 时，说明找到了第k大的元素，直接返回A[k/2 - 1] 或B[k/2 - 1]的值。

因此可以写一个递归实现，递归终止条件是什么呢？ 
- A或B为空时，直接返回A[k-1] 或 B[k-1] 
- 当k = 1时，返回min(A[0], B[0]) //第1小表示第一个元素 
- 当A[k/2 - 1] == B[k/2 - 1] 时，返回A[k/2 - 1] 或B[k/2 - 1]

我们可以看出，代码非常简洁，而且效率也很高。在最好情况下，每次都有k一半的元素被删除，所以算法复杂度为logk，由于求中位数时k为（m+n）/2，所以算法复杂度为log(m+n)。 

转自：http://www.bubuko.com/infodetail-797383.html

最终实现的代码为（代码是直接拷贝的别人的，到时候还需要自己写一下）：

    static int find_kth(int* A, int m,int* B, int n, int k);
    static int min(p, q) {return (p < q) ? p : q;}
    double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {
        int m = nums1Size;
        int n = nums2Size;
        int total = m+n;
        int k = total/2;
        if(total & 0x01) {   //这里用total%2==1也行
            return find_kth(nums1, m, nums2, n, k+1); //奇数，返回唯一中间值
        } else {
            return (find_kth(nums1, m, nums2, n, k) + find_kth(nums1, m, nums2, n, k+1)) / 2.0; //偶数，返回中间2个的平均值
        }
    }
    //找到A,B组合中第k小的值: AB[k-1]
    int find_kth(int* A, int m,int* B, int n, int k) {
        //假设m都小于n
        if (m > n)
            return find_kth(B, n, A, m, k);
        if (m == 0)
            return B[k-1];
        if (k == 1) //终止条件
            return min(A[0], B[0]);

        int i_a = min(m, k/2);    //这两步的意义就是之前解释的遇到奇数时的情况
        int i_b = k - i_a;

        if (A[i_a-1] < B[i_b-1])
            return find_kth(A+i_a, m-i_a, B, n, k-i_a);
        else if (A[i_a-1] > B[i_b-1])
            return find_kth(A, m, B+i_b, n-i_b, k-i_b);
        else
            return A[i_a-1];
    }

　　下面是我更改的C++的版：

class Solution {
public:
    int findk(vector<int>& nums1,int len1, vector<int>& nums2,int len2,int k)
    {
        
        if(len1>len2)
            return findk(nums2,len2,nums1,len1,k);
        if(len1==0)
            return nums2[k-1];
        if(k==1)
            return min(nums1[0],nums2[0]);
        int flag1=min(len1,k/2);
        int flag2=k-flag1;
        if(nums1[flag1-1]<nums2[flag2-1])
        {
            vector<int> temp(nums1.begin()+flag1,nums1.end());
            return findk(temp,len1-flag1,nums2,len2,k-flag1); 
        }
        else if(nums1[flag1-1]>nums2[flag2-1])
        {
            vector<int> temp(nums2.begin()+flag2,nums2.end());
            return findk(nums1,len1,temp,len2-flag2,k-flag2);
        }
            
        else
            return nums1[flag1-1];
    }
    
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int len1=nums1.size();
        int len2=nums2.size();
        int k=(len1+len2)/2;
        if((len1+len2)%2==1)
            return findk(nums1,len1,nums2,len2,k+1);
        else
            return (findk(nums1,len1,nums2,len2,k)+findk(nums1,len1,nums2,len2,k+1))/2.0;
    }
};

　　以下的是错误的，但是错在哪呢？

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int len1=nums1.size();
        int len2=nums2.size();
        int mid=(len1+len2)/2;
        int res=0;
        if((len1+len2)%2==1)
            res=getRes(nums1,len1,nums2,len2,mid+1);
        else
            res=(getRes(nums1,len1,nums2,len2,mid)+getRes(nums1,len1,nums2,len2,mid+1))/2.0;
        return res;
    }
    double getRes(vector<int>& nums1, int len1,vector<int>& nums2,int len2,int mid)
    {
       
        if(len1<len2)
            return getRes(nums2,len2,nums1,len1,mid);
        if(len2==0)
            return nums1[mid-1];
        if(mid==1)
            return min(nums1[0],nums2[0]);
        int k1=min(len2,mid/2);
        int k2=mid-k1;
        int res=0;
        if(nums1[k1-1]<nums2[k2-1])
        {
            vector<int> temp( nums1.begin()+k1,nums1.end());
            res=getRes(temp,len1-k1,nums2,len2,mid-k1);
        }
        else  if(nums1[k1-1]>nums2[k2-1])
        {
            vector<int> temp( nums2.begin()+k2,nums2.end());
            res=getRes(nums1,len1,temp,len2-k2,mid-k2);
        }
        else
            res= nums1[k1-1];
        return res;
    }
    
};