二分法细节
二分查找算法
一、二分查找的框架
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = (right + left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}
分析二分查找的一个技巧是:不要出现 else,而是把所有情况用 else if 写清楚,这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if,旨在讲清楚,读者理解后可自行简化。
其中...标记的部分,就是可能出现细节问题的地方,当你见到一个二分查找的代码时,首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
另外声明一下,计算 mid 时需要技巧防止溢出,建议写成: mid = left + (right - left) / 2
,本文暂时忽略这个问题。
二、寻找一个数(基本的二分搜索)
这个场景是最简单的,可能也是大家最熟悉的,即搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1。
左闭右闭的模板
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) { // 注意
int mid = (right + left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
-
为什么 while 循环的条件中是 <=,而不是 < ?
- 答:因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1,即最后一个元素的索引,而不是 nums.length。
- 这二者可能出现在不同功能的二分查找中,区别是:前者相当于两端都闭区间
[left, right]
,后者相当于左闭右开区间[left, right)
,因为索引大小为 nums.length 是越界的。 - 我们这个算法中使用的是 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间就是
每次进行搜索
的区间,我们不妨称为「搜索区间」(search space)。 - 什么时候应该停止搜索呢?当然,找到了目标值的时候可以终止
if(nums[mid] == target) return mid;
- 但如果没找到,就需要 while 循环终止,然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止?搜索区间为空的时候应该终止,意味着你没得找了,就等于没找到嘛。
while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1
,写成区间的形式就是[right + 1, right]
,或者带个具体的数字进去 [3, 2],可见这时候搜索区间为空,因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的,直接返回 -1 即可。- while(left < right)的终止条件是 left == right,写成区间的形式就是 [right, right],或者带个具体的数字进去 [2, 2],这时候搜索区间非空,还有一个数 2,但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了,索引 2 没有被搜索,如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。
- 当然,如果你非要用 while(left < right) 也可以,我们已经知道了出错的原因,就打个补丁好了:
//... while(left < right) { // ... } return nums[left] == target ? left : -1; //注意 如果是插入位置 需要先判段left是否越界
-
为什么 left = mid + 1,right = mid - 1?我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid,没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断?
- 答:这也是二分查找的一个难点,不过只要你能理解前面的内容,就能够很容易判断。
- 刚才明确了「搜索区间」这个概念,而且本算法的搜索区间是两端都闭的,即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时,如何
确定下一步的搜索区间
呢? - 当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对?因为 mid 已经搜索过,应该从搜索区间中去除。
-
此算法有什么缺陷?
- 答:至此,你应该已经掌握了该算法的所有细节,以及这样处理的原因。但是,这个算法存在局限性。
- 比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3],target = 2,此算法返回的索引是 2,没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界,即索引 1,或者我想得到 target 的右侧边界,即索引 3,这样的话此算法是无法处理的。
- 这样的需求很常见。你也许会说,找到一个 target 索引,然后向左或向右线性搜索不行吗?可以,但是不好,因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。
- 我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。(左闭右开的 插入位置的 刚好大于的 二分方法)
三、寻找左侧边界的二分搜索
//搜索>=target的第一个位置
直接看代码,其中的标记是需要注意的细节: //正常二分法左闭右开的模板
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意
while (left < right) { // 注意
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
-
为什么 while(left < right) 而不是 <= ? //注意 仅仅是因为right的初始化 两种模板没有差别 都可以使用
- 答:用相同的方法分析,因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
- while(left < right) 终止的条件是
left == right
,此时搜索区间[left, left) 恰巧为空
,所以可以正确终止。
-
为什么没有返回 -1 的操作?如果 nums 中不存在 target 这个值,怎么办?
-
答:因为要一步一步来,先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义:
target = 2
pos: left mid mid+1 right
nums: 1 2 2 4
index: 0 1 2 3 4
-
对于这个数组,算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读:nums 中
小于
2 的元素有 1 个
。 -
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1,算法会返回 0,含义是:nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8,算法会返回 4,含义是:nums 中小于 8 的元素有 4 个。
-
综上可以看出,函数的返回值(即 left 变量的值)取值区间是闭区间 [0, nums.length],所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:
while (left < right) { //... } // target 比所有数都大 if (left == nums.length) return -1; //[1,2,2,4]搜索8返回left 4,越界 // 类似之前算法的处理方式 return nums[left] == target ? left : -1;
-
-
为什么 left = mid + 1,right = mid ?和之前的算法不一样?
- 答:这个很好解释,因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开,所以当 nums[mid] 被检测之后,下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间,即
[left, mid) 或 [mid + 1, right)
。(mid已被被搜索判断)
-
为什么该算法能够搜索左侧边界?
- 答:关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理:
if (nums[mid] == target) right = mid;
- 可见,找到 target 时
不要立即返回
,而是缩小「搜索区间」的上界 right
,在区间 [left, mid) 中继续搜索
,即不断向左收缩
,达到锁定左侧边界
的目的。
-
为什么返回 left 而不是 right?
- 答:返回left和right都是一样的,因为 while 终止的条件是 left == right。
-
经测试, 两种写法返回值完全一致
//二分法细节 <写法 int left_bound(vector<int> nums, int target) { if (nums.size() == 0) return -1; int left = 0; int right = nums.size(); // 注意 while (left < right) { // 注意 int mid = (left + right) / 2; if (nums[mid] == target) { right = mid; } else if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { right = mid; // 注意 } } // return left; //返回>=target的左边界位置 [0,nums.size()] // 返回第一个target的位置 没有则返回-1; { if (left == nums.size()) return -1; //[1,2,2,4]搜索8返回left 4,越界 // 类似之前算法的处理方式 return nums[left] == target ? left : -1; } } //<= 写法 完全一致 int left_bound2(vector<int> nums, int target) { if (nums.size() == 0) return -1; int left = 0; int right = nums.size() - 1; // 注意 while (left <= right) { // 注意 int mid = (left + right) / 2; if (nums[mid] == target) { right = mid - 1; } else if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; // 注意 } } // return left; //返回>=target的左边界位置 [0,nums.size()] // 返回第一个target的位置 没有则返回-1; { if (left == nums.size()) return -1; //[1,2,2,4]搜索8返回left 4,越界 // 类似之前算法的处理方式 return nums[left] == target ? left : -1; } }
**四、寻找右侧边界的二分查找 **
//所有=target的最后一个位置 > target的第一个位置
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多,只有两处不同,已标注:
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
-
为什么这个算法能够找到右侧边界?
- 答:类似地,关键点还是这里:
if (nums[mid] == target) { left = mid + 1; //与模板对应一致
- 当 nums[mid] == target 时,不要立即返回,而是增大「搜索区间」的下界 left,使得区间不断向右收缩,达到锁定右侧边界的目的。
-
为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数,返回 left?而且我觉得这里既然是搜索右侧边界,应该返回 right 才对。
-
答:首先,while 循环的终止条件是 left == right,所以 left 和 right 是一样的,你非要体现右侧的特点,返回 right - 1 好了。
target = 2
pos: left mid mid+1 right
nums: 1 2 2 4
index: 0 1 2 3 4
-
至于为什么要减一,这是搜索右侧边界的一个特殊点,关键在这个条件判断:
if (nums[mid] == target) { left = mid + 1; // 这样想: mid = left - 1
- 因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1,就是说 while 循环结束时,nums[left] 一定不等于 target 了,而 nums[left - 1]可能是target。
- 至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1,同左侧边界搜索,就不再赘述。
-
-
为什么没有返回 -1 的操作?如果 nums 中不存在 target 这个值,怎么办?
- 答:类似之前的左侧边界搜索,因为 while 的终止条件是 left == right,就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length],所以可以添加两行代码,正确地返回 -1:
while (left < right) { // ... } if (left == 0) return -1; //这个例子搜索0 就是返回left 0 return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
-
经测试, 两种写法返回值完全一致
//二分法细节 查找右边界 //<写法 int right_bound(vector<int> nums, int target) { if (nums.size() == 0) return -1; int left = 0, right = nums.size(); while (left < right) { int mid = (left + right) / 2; if (nums[mid] == target) { left = mid + 1; // 注意 } else if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { right = mid; } } // return left - 1; //返回>=target的右边界位置 [0,nums.size()] // 返回最后一个target的位置 没有则返回-1; { if (left == 0) return -1; //这个例子搜索0 就是返回left 0 return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1; } } //<=写法 int right_bound2(vector<int> nums, int target) { if (nums.size() == 0) return -1; int left = 0, right = nums.size() - 1; while (left <= right) { int mid = (left + right) / 2; if (nums[mid] == target) { left = mid + 1; // 注意 } else if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; } } // return left - 1; //返回>=target的右边界位置 [0,nums.size()] // 返回最后一个target的位置 没有则返回-1; { if (left == 0) return -1; //这个例子搜索0 就是返回left 0 return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1; } }
五、最后总结
先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑:
-
第一个,最基本的二分查找算法:
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回 -
第二个,寻找左侧边界的二分查找:
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界 -
第三个,寻找右侧边界的二分查找:
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right,必须减一
- 分析二分查找代码时,不要出现 else,全部展开成 else if 方便理解。
- 注意「搜索区间」和 while 的终止条件,如果存在漏掉的元素,记得在最后检查。
- 如需要搜索左右边界,只要在 nums[mid] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。
转载自详解二分查找算法 https://www.cnblogs.com/kyoner/p/11080078.html