概率与随机变量

概率与随机变量（概率论的核心部分）

概率

在满足以下3个公理的情况下,将一个实数\(P(A)\)赋给每个事件\(A\)的函数\(P\)是一个概率分布(probability distribution)或者一个概率测度(probability measure):

\(Axiom\ 1: P(A) \ge 0\ for\ every\ A\)
\(Axiom\ 2: P(\Omega) = 1\)
\(Axiom\ 3: 如果 A_1, A_2, ... 不相交，那么 P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\Sigma_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)

随机变量

一个随机变量是一个映射\(X:\Omega\to R\)，为每个结果\(\omega\)分配一个实数\(X(\omega)\)。

分布函数和概率函数

累积分布函数，或者说CDF，是一个函数\(F_X:R\to [0,1]\):

\[F_X(x)=P(X\le x) \]

如果X具有可数的值\({x_1,x_2,...}\)，那么X是离散的。我们定义X的概率函数或概率质量函数为

\[f_X(x)=P(X=x) \]

当对所有\(x\)，存在\(f_X(x)\ge 0\)且\(\int_{-\infty}^{\infty}\)且对任意\(a\le b\),

\[P(a<X<b)=\int_{a}^{b}f_X(x)dx \]

这个函数\(f_X\)被称为概率密度函数(PDF)，我们有

\[F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)dt \]

且在所有点x处\(F_X\)可微且\(f_X(x)=F'_X(x)\)。

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• 12月06日 19:32 严格的定稿完成