Fibonacci Numbers（$AX=XΛ$）

本文所讲的例子，可以很好地帮助我们理解线代的第二部分。

Fibonacci Numbers（\(AX=XΛ\)）

递归定义

\(F_{k+2} = F_{k+1} + F_{k}\)
\(F_0 = 0\)

\(F_{100}\)

系数矩阵\(X\)

令通项
\(u_k= \left[ \begin{matrix} F_{k+1} \\ F_{k} \end{matrix} \right]\)
此项对应系数矩阵\(X\)

转换矩阵\(A\)

则\(u_{k+1}= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]u_k\)
此项对应转换矩阵\(A\)

方阵\(A\)可适用特征值

\(A-λI\)特征值

\(A-λI = \left[ \begin{matrix} 1-λ & 1 \\ 1 & -λ \end{matrix} \right] = λ^2-λ-1\)

解得 \(λ=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

\((A-λI)X=0\)求解特征向量

因为
\((A-λI)X = \left[ \begin{matrix} 1-λ & 1 \\ 1 & -λ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} λ \\ 1 \end{matrix} \right]= λ^2-λ-1+λ-λ\)

其中\(λ^2-λ-1 = 0\),则\((A-λI)X=0\)，因为\(λ=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)，特征向量\(x_1, x_2\)为
\(\left[ \begin{matrix} \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ 1 \end{matrix} \right]\) 和 \(\left[ \begin{matrix} \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ 1 \end{matrix} \right]\)

可得\(u_0 = \frac{x_1-x_2}{λ_1-λ_2}(λ_1=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; λ_2=\frac{1 - \sqrt{5}}{2})\)

\(u_{100}\) 特征值乘特征向量

\(u_{100}= \frac{(λ_1)^{100}x_1-(λ_2)^{100}x_2}{λ_1-λ_2}\)
即接近于\(\frac{({\frac{1+\sqrt{5}}{2}})^{100}}{\sqrt{5}}\)
即\(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)
黄金比率得证。