维度(Dimension)
“需要归纳的原理，通常通过例子呈现。”————千心
本文仍将不断补充
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维度(Dimension)
在物理学和数学中，数学空间（或对象）的维度被非正式地定义为指定其中任何点所需的最小坐标数。
In physics and mathematics, the dimension of a mathematical space (or object) is informally defined as the minimum number of coordinates needed to specify any point within it.
维度
因此，一条曲线（line）的维数为一 (1D)，因为只需要一个坐标来指定其上的一个点——例如，数轴(number line)上5处的点。平面、圆柱体或球体等曲面的维数为二(2D)，因为需要两个坐标来指定其上的一个点——例如，需要纬度和经度来定位平面上的一个点。球体的表面。立方体、圆柱体或球体的内部是三维 (3D)， 因为在这些空间中定位一个点需要三个坐标。
在经典力学中，空间和时间是不同的范畴，指的是绝对的空间和时间。这个世界的概念是一个四维空间，但不是描述电磁学所必需的。时空的四个维度 (4D) 由在空间和时间上没有绝对定义的事件组成，而是相对于观察者的运动是已知的。闵可夫斯基空间首先近似于没有引力的宇宙；广义相对论的伪黎曼流形用物质和引力来描述时空。 10维用于描述超弦理论（6D超空间+4D），11维可以描述超引力和M-理论（7D超空间+4D），量子力学的状态空间是一个无限维函数空间。
维度的概念不限于物理对象。高维空间经常出现在数学和科学中。它们可能是参数空间或配置空间，例如在拉格朗日或哈密顿力学中；这些是抽象的空间，独立于我们生活的物理空间。
数学上的例子：二重以上微积分及其应用
统一的微积分基本定理(The Unifying Fundamental Theorem)
微分的算子对在一个区域上的场作用后的积分
等于分配该算子在区域边界上的场分量的和。
The integral of a differential operator acting on a field over a region
equals the sum of the field components appropriate to the operator over the boundary of the region.
例子
所有的曲线均可用1个参量x模长表示曲线长度，所有的曲面均可用2个参量x叉乘表示曲面面积。对曲面和曲线使用3个维度是冗余的，可以简化为1个和2个维度。
曲线方程（三维空间下）：\(\int\limits_{C}f(x,y,z)ds = \int_{a}^{b} f(g(t),h(t),k(t))|v(t)|dt\)
将x做参量曲线方程（二维空间同济数学）：\(\int\limits_{C}f(x,y)ds = \int_{a}^{b} f(x,y(x)){\sqrt{1+{y_x'}^2}} dx\)
曲面方程（三维空间下）：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|r_u\times r_v|dudv\)
将x，y做参量的曲面方程（三维空间同济数学）：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(x,y,f(x,y))\sqrt{{f_x'}^2+{f_y'}^2+1}dxdy\)
而在二重三重积分转换坐标系时，因为维度是固定的2与3，无法简化，需要使用雅各比行列式来计算变化。
格林公式等闭合曲线曲面（可以推广到闭合流形）无法通过简单的积分得到，但是可以通过化边界为区域的方法，简单地进行计算（闭合的流形，一定可以圈出一个更高维的区域）。
四维及以上情形，微积分的一些原理会发生比较重要的变化。
格林公式及其高维推广
例题
已知\(L\)是第一象限中从点\((0,0)\)沿圆周\(x^2+y^2=2x\)到点\((2,0)\)，再沿圆周\(x^2+y^2=4\)到点\((0,2)\)的曲线段。计算曲线积分\(I=\int\limits_{L}3x^2ydx+(x^3+x-2y)dy\)
闭合的曲线曲面可以在+1维数以非常简便的方式运算，同时注意到，曲线积分\(I\)以分量形式，便于通过公式化为+1维度的计算。
但是注意到\(\int\limits_{L}\)的\(L\)是line，而不是\(\oint\limits_{C}\)中\(C\)的circle，所以要将非闭合曲线积分化为闭合曲线积分减去一个非闭合曲线积分的形式。
同时因为方向性得（格林公式）\(I=\oint\limits_{C}3x^2ydx+(x^3+x-2y)dy-\)\(\int_{2}^{0}-2ydy\)=\(\iint_{S}3x^2+1-3x^2dxdy\)-\(\int_{2}^{0}-2ydy\)=\(\frac{\pi}{2}-4\)
Misc
xxx1
物理中的四维特指时间。
所谓闭合的流形，本质上已经形成更高维度一个区域的边界。
ChangeLog
欢迎讨论和批评指正！
- 10月26日 应该不会再更新了，但这篇文章应该会保留下来而不会设置私有。
- 10月28日 补充格林公式及其高维推广内容。
- 11月01日 补充Misc部分。这块如果质量太低请联系我让我删除这部分（已修改）。
- 11月07日 添加了统一的微积分基本定理。这里来自于《Thomas Calculus》，其他无法再补充了。Misc部分可能是最冗余的。
