最小二乘法-矩阵求导求解
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关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。在开始之前,首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下
一个的矩阵
的迹是指
的主对角线上各元素的总和,记作
。即
好了,有了上述7个定理,就可以来求最小二乘解了。设
那么进一步得到
接下来会涉及到矩阵求导,因为
那么进一步利用矩阵求导并利用上述定理,得到
我们知道在极值点处梯度值为零,即
上述得到的方程组叫做正规方程组,那么最终得到
这样最小二乘问题只需解一个线性方程组即可,不再需要像梯度下降那样迭代了。
既然说到了正规方程组,在介绍一种方程组,叫做超定方程组,它的定义为:把方程个数大于未知量个数的方
程组叫做超定方程组。通常来说,对于一个超定方程组来说,求最小二乘解只需要两边同时乘
的转
置,然后得到正规方程组,然后解这个方程就得到了最小二乘解。