细胞膜内流体应力分析
细胞膜内流体应力分析
本文是对参考1论文中模型的详细推导，以供计算机分析之用。
一、 坐标系的建立
图1 细胞受力在y向投影
二、 模型推导
蠕动流
细胞液和细胞质可以视为蠕动流体，在流动过程中其黏性力远大于惯性力，
蠕动流的控制方程（斯托克斯方程）
其中双线P为 柯西应力张量，也可表示为σij，包含黏性力与压力，f则为体积力（可视为内部应力）。
详见 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E6%89%98%E5%85%8B%E6%96%AF%E6%B5%81
因为细胞液不可压缩，视为牛顿流体，斯托克斯方程变为（3维向量形式）
u是流体的速度， p是压力的梯度， μ是动态粘度，f是体积力。
详见 https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes_flow
结合图1，只看y向投影，则有
即为论文中公式1
三、 方程的解
为了求解式2，加入边界条件，变为
其中 为3维狄拉克函数， 表示只在原点处有力，即力是位于原点的点力。力场梯度在无穷远处为0.
方程的解为
双线J为力的张量场, 双线I为单位张量，r为过原点的任意矢量。
对于连续场（细胞模型）式4可以写成积分形式
f为力场密度，r’为过原点的任意矢量
式6为三维向量形式，可将其投影在y面上,降为面积分
对于弹性体（细胞膜）来说,应力和形变的关系可以用下面公式表达
其中， 为力密度， 为体变量， 为弹性系数张量
投影到y面，则有
结合式7，则有
令
则有
等同于论文式4和式5
参考资料：《A combined experimental and theoretical investigation on cellular blebbing》
《Cell membrane wrapping of a spherical thin elastic》
《INTERACTION BETWEEN BENDING AND TENSION FORCES IN BILAYER MEMBRANES》
《The Boundary Element Method in Fluid》
《Theoretical Model for Cellular Blebbing》
