高数笔记 ----- 常微分方程

No.7 常微分方程

$$y'=f(x)\ 两端同时积分，可分离变量的微分方程。\\ \frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)\ 转换为\ \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx.然后两端积分。\\ 例题：y'=y\\ \frac{dy}{dx}=y\ ,\ \frac{dy}{y}=dx\ ,\ \int\frac{1}{y}dy=\int dx\\ ln\ |\ y\ |=x+C_1\\ |\ y\ |=e^{x+C1}\\ y=C\cdot e^x\\ $$

齐次方程

$$\frac{dy}{dx=f(\frac{y}{x})}\ \ ,令\ u=\frac{y}{x},y=ux\ \ ,y'=u'x+u\\ u'x+u=f(u)\ ,\ u'x=f(u)-u\\ \frac{du}{dx}\cdot x=f(u)-u\\ \frac{du}{f(u)-u}=\frac{1}{x}dx\ ,\ （下一步两端积分）\\ u=F(x)+C_1\\ 因为y=u\cdot x,所以y=x(F(x)+C_1).$$

一阶线性微分方程

$$形如\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\\ 当Q(x)=0,上方程称为齐次方程.\\ 当Q(x)\not=0,上方程称为非齐次的.\\ 解法\ 齐次方程的通解为\ y=Ce^{-\int P(x)dx}.\\ 非齐次方程的通解为\ y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)dx}dx+C].$$

二阶常系数齐次线性微分方程

$$形如：y''+py'+qy=0\\ 都为\textbf{二阶常系数齐次线性微分方程}\\ 写出特征方程\ r^2+pr+q=0\ 解出特征根。\\ $$

$$\left\{ \begin{aligned} \triangle&\geq0\ ,\ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\\ \triangle&=0\ ,\ y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_2x}\\ \triangle&\leq0\ ,\ r_1r_2=\alpha+\beta i ,\ y=e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B \sin\beta x)\ \end{aligned} \right.$$