新赛道-2024.8 CSP-J组月赛-T1总结

题面：

王老师 最近做了一道经典问题《翻纸牌》

现在 王老师 有 n 张牌，编号分别为 1,2,3…n，每张牌一开始都是背面朝上的

现在他要进行 n 轮操作，第 i 轮操作时候，他会将所有编号是 i 的倍数的牌正反翻面

现在 王老师 想知道，当他进行完 n 轮操作以后，所有正面朝上的牌的编号总和是多少

因为数字可能很大，所以请你将答案对 109+7 取模

对于 30% 的数据：1≤n≤106

对于 60% 的数据：1≤n≤1014

对于 100% 的数据：1≤n≤1018

从题中可知将n翻面的只有n的因子，而翻到正面的数字的因子个数一定是奇数，也就是完全平方数，再套入公式：n*(n+1)*(2*n+1)/6即可，但数据量为1e18，这么算会爆long long （我就是这么写挂的。。）,所以需要用到特殊处理，首先，我们知道n*(n+1)%2==0,所以可以先算n*(n+1)/2,剩下的/3分两种情况讨论

设v=sqrt(n),x=v*(v+1)/2

1.若x%3==0,那么直接先将x/3%mod*(2*v+1)%mod;

2.否则把/3丢给（2*v+1）:x%mod*((2*v+1)/3)%mod

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const unsigned long long mod=1e9+7;
unsigned long long n;
int main(){
　　//freopen("card.in","r",stdin);
　　//freopen("card.out","w",stdout);
　　ios::sync_with_stdio(0);
　　cin.tie(0);cout.tie(0);
　　cin>>n;
　　unsigned long long op=sqrt(n);
　　unsigned long long ans=op*(op+1)/2;
　　if(ans%3==0)cout<<ans/3%mod*(2*op+1)%mod;
　　else cout<<ans%mod*((2*op+1)/3)%mod;
　　return 0;
}

总结：在做题时需观看数据量判断其会不会爆，在进行处理，我在估数据量时还是比较弱，以后在打代码前应估计在中途会不会爆，再写代码。