如何存储和表示数字—二进制（一）

 

今天，我们讲计算机如何存储和表示数字，所以会有一些数学，不过别担心，你们的数学水平绝对够用了。

之前我们讲了，怎么用晶体管做逻辑门，逻辑门可以判断布尔语句，布尔代数只有两个值：True 和 False。但如果只有两个值，我们怎么表达更多东西？这就需要数学了。

正数

上节提到，1 个二进制值可以代表 1 个数，我们可以把真和假 ，当做 1 和 0。如果想表示更多东西，加位数就行了。和我们熟悉的十进制一样，十进制只有 10 个数（0到9），要表示大于 9 的数，加位数就行了。二进制也可以这样玩。

拿 263 举例，这个数字 "实际" 代表什么？ 2 个 100 ，6 个 10 ， 3 个 1  加在一起，就是 263。注意每列有不同的乘数，100, 10, 1，每个乘数都比右边大十倍，因为每列有 10 个可能的数字（0到9），如果超过 9，要在下一列进 1。因此叫 "基于十的表示法"  或十进制。

二进制也一样，只不过是基于 2 而已，因为二进制只有两个可能的数， 1 和 0，意味着每个乘数必须是右侧乘数的两倍，就不是之前的 100, 10, 1，而是 4, 2, 1。拿二进制数 101 举例，意味着有 1个 "4"，0个 "2" ， 1个 "1"，加在一起，得到十进制的 5。

为了表示更大的数字，二进制需要更多位数。拿二进制数 10110111 举例，我们可以用相同的方法转成十进制，1 x 128 ，0 x 64 ，1 x 32 ，1 x 16 ， 0 x 8 ，1 x 4 ，1 x 2 ，1 x 1，加起来等于 183。

运算

二进制数的计算也不难，以十进制数 183 加 19 举例，首先 3 + 9，得到 12，然后位数记作 2，向前进 1，现在算 8+1+1=10，所以位数记作0，再向前进 1，最后 1+1=2，位数记作2，所以和是202。二进制也一样，和之前一样，从个位开始1+1=2，在二进制中也是如此，但二进制中没有 2，所以位数记作 0 ，进 1，就像十进制的例子一样，1+1，再加上进位的1等于 3，用二进制表示是 11。所以位数记作 1，再进 1，以此类推。最后得到这个数字，跟十进制 202 是一样的。

字节

二进制中，一个 1 或 0  叫一"位"，上个例子我们用了 8 位 , 8 位能表示的最小数是 0,  8位都是0，最大数是 255，8 位都是 1。能表示 256 个不同的值，2 的 8 次方。你可能听过 8 位机，8 位图像，8 位音乐，意思是计算机里大部分操作都是 8 位 8 位这样处理的。但 256 个值不算多，意味着 8位游戏只能用 256 种颜色。

8 位是如此常见，以至于有专门的名字：字节。1 字节 = 8 位 ，如果有 10 个字节，意味着有 80 位。你听过 千字节（kb）兆字节（mb）千兆字节（gb）。不同前缀代表不同数量级，就像 1 千克 = 1000 克，1 千字节 = 1000 字节或 8000 位。Mega 是百万字节（MB）, Giga 是十亿字节（GB），如今你可能有 1 TB 的硬盘，8 万亿个1和0等等。我们有另一种计算方法，二进制里，1 千字节 = 2的10次方 = 1024 字节，1000 也是千字节（KB）的正确单位，1000 和 1024 都对。

你可能听过 32 位 或 64 位计算机，你现在用的电脑肯定是其中一种，意思是一块块处理数据，每块是 32 位或 64 位，这可是很多位。32 位能表示的最大数，是 43 亿左右，也就是 32 个 1。所以 Instagram 照片很清晰， 它们有上百万种颜色，因为如今都用 32 位颜色。

负数

当然，不是所有数字都是正数，比如我上大学时的银行账户，我们需要有方法表示正数和负数。大部分计算机用第一位表示正负：1 是负，0 是正。用剩下 31 位来表示数字，能表示的数字范围是 正 20 亿到负 20 亿。虽然是很大的数，但有时还不够用，全球有 70 亿人口，美国国债近 20 万亿美元，所以 64 位数很有用。64 位能表达最大数是 9.2x10。希望美国国债在一段时间内不会超过这个数。

位址

重要的是计算机必须给内存中每一个位置，做一个 "标记"，这个标记叫 "位址", 目的是为了方便存取数据。如今硬盘已经增长到 GB 和 TB，上万亿个字节！内存地址也应该有 64 位。

浮点数

除了负数和正数，计算机也要处理非整数，除了负数和正数，计算机也要处理非整数，比如 12.7 和 3.14，或"星历 43989.1" 这叫 浮点数，因为小数点可以在数字间浮动，有好几种方法 表示浮点数，最常见的是 IEEE 754 标准。

你以为只有历史学家取名很烂吗？它用类似科学计数法的方法，来存十进制值，例如，625.9 可以写成 0.6259×10 ^ 3。这里有两个重要数字：.6259 叫 "有效位数" , 3 是指数。在 32 位浮点数中，第 1 位表示数字的正负，接下来 8 位存指数，剩下 23 位存有效位数。

 

好了，聊够数字了，但你的名字是字母组成的。所以我们也要表示文字，明天我们继续。