数学建模案例【人口模型 】（马尔萨斯人口模型，Logistic模型）

数学建模案例【人口模型】

                                                                              （马尔萨斯人口模型，Logistic模型）

(注：参考慕课网课程，非完全原创。)

 

p(t) 是t时刻的人口数量

问题1：在知道当前或过去某个时刻的人口数量的情况下，预测未来某个时刻的人口数量？

问题2：t趋于无穷时，即在遥远的未来，人口趋势是怎样的？

马尔萨斯人口模型：

问题1：

在短时间发生的变化：p(t+△t)-p(t)=rp(t)△t

                                    p(t+dt)-p(t)=rp(t)dt

由微分方程得：  dp(t) / dt =r p(t)            ①

                           p(t0) = p0                      ②

有1，2式得;

                        
问题2：

函数模型人口数量是时间变量的指数函数，成指数增长。

Logistic模型：

考虑r的变化：

假设地球最多能够支撑的人口数量为K：

N（t）表示t时间处的人口数量：   

 

求得：     

 

方程曲线描述：

 

离散化：

 

取时间的离散步长为1，则：

 

取定参数k，考虑不同的参数r，作图分析：

 

静态解

 

 

 

二周期：

 

 

四周期：

 

 

N（t）—— r