矩阵论的一些结论

设有 $n \times n$的矩阵

$$\begin{equation} W = \left[ \begin{matrix} w_{11},& w_{12},& \cdots,& w_{1n} \\ w_{21},& w_{22},& \cdots,& w_{2n} \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ w_{n1},& w_{n2},& \cdots,& w_{nn} \end{matrix} \right] \end{equation},$$

和长度为 $n$ 的向量$$\begin{equation} \mathbf{a}=\left[ \begin{matrix} a_1&\\ a_2&\\\vdots&\\\ a_n&\end{matrix} \right]\end{equation},$$

$$\begin{equation} \mathbf{b}=\left[ \begin{matrix} b_1&\\ b_2&\\\vdots&\\ b_n&\end{matrix} \right] \end{equation}.$$

则

$$\begin{equation} \mathbf{a^{T}}W\mathbf{b} = \sum_{i,j}a_iw_{ij}b_j\end{equation}.$$

  

设有$m \times n$的矩阵

$$\begin{equation} A = \left[ \begin{matrix} a_{11},& a_{12},& \cdots,& a_{1n} \\ a_{21},& a_{22},& \cdots,& a_{2n} \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ a_{m1},& a_{m2},& \cdots,& a_{mn} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}\mathbf{a}_1^r&\\\mathbf{a}_2^r&\\\vdots&\\\mathbf{a}_m^r&\end{matrix} \right] = \left[ \mathbf{a}_1^c, \mathbf{a}_2^c, \cdots, \mathbf{a}_n^c \right] \end{equation},$$

和$n \times k$的矩阵 

$$\begin{equation} B = \left[ \begin{matrix} b_{11},& b_{12},& \cdots,& b_{1k} \\ b_{21},& b_{22},& \cdots,& b_{2k} \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ b_{n1},& b_{n2},& \cdots,& b_{nk} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \mathbf{b}_1^r& \\ \mathbf{b}_2^r& \\ \vdots& \\ \mathbf{b}_n^r& \end{matrix} \right] = \left[ \mathbf{b}_1^c, \mathbf{b}_2^c, \cdots, \mathbf{b}_k^c \right] \end{equation},$$

其中$\mathbf{a}^r$、$\mathbf{a}^c$、$\mathbf{b}^r$、$\mathbf{b}^c$分别为$A$和$B$的行向量、列向量。

 

则$$\begin{equation} AWB = \left[ \begin{matrix} \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{1,i}w_{ij}b_{j,1},& \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{1,i}w_{ij}b_{j,2},& \cdots,& \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{1,i}w_{ij}b_{j,k} \\ \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{2,i}w_{ij}b_{j,1},& \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{2,i}w_{ij}b_{j,2},& \cdots,& \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{2,i}w_{ij}b_{j,k} \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{m,i}w_{ij}b_{j,1},& \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{m,i}w_{ij}b_{j,2},& \cdots,& \sum_{i,j\in\left[1,n\right]}a_{m,i}w_{ij}b_{j,k} \end{matrix} \right]\end{equation},$$

 

且$$\begin{equation} AB = \left[ \Sigma_{i = 1}^n \mathbf{a}_i^c b_{i1},  \Sigma_{i = 1}^n \mathbf{a}_i^c b_{i2}, \cdots,  \Sigma_{i = 1}^n \mathbf{a}_i^c b_{ik} \right] = \left[ \begin{matrix} \Sigma_{i = 1}^n a_{1i} \mathbf{b}_i^r \\ \Sigma_{i = 1}^n a_{2i} \mathbf{b}_i^r \\ \vdots \\ \Sigma_{i = 1}^n a_{mi} \mathbf{b}_i^r \end{matrix} \right] \end{equation},$$

则可以将$AB$的每一列看做是$A$的列向量的线性组合，组合的系数为$B$对应列的元素的值；也可以将$AB$的每一行看做是$B$的行向量的线性组合，组合的系数是$A$对应行的元素的值。 

同时我们有

$$\begin{equation} AB = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a}_1^r\mathbf{b}_1^c,& \mathbf{a}_1^r \mathbf{b}_2^c,& \cdots,& \mathbf{a}_1^r \mathbf{b}_k^c \\ \mathbf{a}_2^r \mathbf{b}_1^c,& \mathbf{a}_2^r \mathbf{b}_2^c,& \cdots,& \mathbf{a}_2^r \mathbf{b}_k^c \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ \mathbf{a}_m^r \mathbf{b}_1^c,& \mathbf{a}_m^r \mathbf{b}_2^c,& \cdots,& \mathbf{a}_m^r \mathbf{b}_k^c \end{matrix} \right] \end{equation},$$

则可以将$AB$的每个元素看做是$A$对应的行和$B$对应的列的积。

特别的，当$A$是行向量时，

$$\begin{equation} AB =  \Sigma_{i = 1}^n a_{1i} \mathbf{b}_i^r = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a}_1^r\mathbf{b}_1^c, \mathbf{a}_1^r \mathbf{b}_2^c, \cdots, \mathbf{a}_1^r \mathbf{b}_k^c \end{matrix} \right] \end{equation}.$$

当$B$是列向量时，

$$\begin{equation} AB =  \Sigma_{i = 1}^n \mathbf{a}_i^c b_{i1} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a}_1^r\mathbf{b}_1^c& \\ \mathbf{a}_2^r\mathbf{b}_1^c& \\ \vdots& \\ \mathbf{a}_m^r\mathbf{b}_1^c& \end{matrix} \right] \end{equation}.$$

 

关于矩阵的相似，从线性变换的角度看，设线性变换$T$在一组基

$$\begin{equation} \left[ \mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \cdots, \mathbf{\alpha}_n \right] \end{equation}$$

下的表示为$A$，$T$将坐标为$x$的量$v$映射到坐标为$x'$的量$v'$，$Ax = x'$。当对空间的基做基变换，变换矩阵为$P$时，

$$\begin{equation} \left[ \mathbf{\beta}_1, \mathbf{\beta}_2, \cdots, \mathbf{\beta}_n \right] = \left[ \mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \cdots, \mathbf{\alpha}_n \right] P \end{equation}$$

则量$v$在新基下的坐标变为$P^{-1}x$，量$v'$在新基下的坐标变为$P^{-1}x'$。设在新基下，线性变换$T$的新的矩阵为$B$。$T$仍然把量$v$映射到量$v'$，即$BP^{-1}x = P^{-1}x'$，则$PBP^{-1}x = x'$，即$PBP^{-1} = A$。也就是说$A$和$B$表示的都是$T$，$A$和$B$分别是$T$在不同基下的表示。

 

更一般的，$A\left(A^{T}A\right)^{-1}A^{T}x$是向$A$的列空间投影后的向量。

 

关于矩阵合同，设有某种距离度量，使关于任意两个向量，他们的距离定义为$d = x^{T}Ay$，其中$A$为二次型对应的矩阵，$x$和$y$是这两个向量的坐标。然后，在对空间做过度矩阵为$P$的基变换后，原向量的新坐标分别变为$u = P^{-1}x$和$v = P^{-1}y$。如果基变换不改变向量之间的距离，则$d = x^{T}Ay = u^{T}P^{T}APv = u^{T}Bv$，其中$B = P^{T}AP$。即我们定义好一种距离度量后，$A$和$B$描述了任意两个向量在不同基下的这种距离。

 

$A^TA$和$AA^T$是对称矩阵

 

任何一个$n$阶方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和

 

$A^{*}A = AA^{*}=|A|\mathbf{I}$

 

存在初等矩阵$P_1, P_2, \cdots, P_t$及$Q_1,Q_2, \cdots,Q_s$，使$P_1P_2 \cdots P_tAQ_1Q_2 \cdots Q_s = \left[ \begin{matrix} \mathbf{I}_r, &\mathbf{0} \\ \mathbf{0}, &\mathbf{0}\end{matrix}\right]$

 

可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积

 

在复数域上，每个$n$阶方阵$A$都相似于一个Jordan矩阵$J$，即存在$n$阶可逆阵$P$，使得

$$\begin{equation} P^{-1}AP=J=\left[ \begin{matrix} J_1(\lambda_1) & & &\\  &J_2(\lambda_2) & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_m(\lambda_m) \end{matrix}\right]\end{equation}$$

若不计$J$主对角线上Jordan块次序，则该Jordan矩阵是唯一的。

 

数域F上任意一个二次型$f = X^{T}AX$都可以经过非退化线性变换$X=PY$化为形如$Y^{T}P^{T}APY=\sum_id_iY_i^2$的标准型。如在复数域上考虑，可进一步化为形如$z_1^2+z_2^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_{p+q}^2$的规范型。

 

对于任何$n$阶对称矩阵$A$，存在$n$阶可逆阵$P$，使得

$$\begin{equation} P^{T}AP=\left[ \begin{matrix} d_1 & & &\\  &d_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n \end{matrix}\right]\end{equation}$$

设$A$为实对称矩阵，则有

（1）$A$的特征值都是实数

（2）$A$的对应于不同特征值的特征向量必正交

（3）必存在正交矩阵$C$，使

$$\begin{equation} C^{T}AC=C^{-1}AC=\left[ \begin{matrix} \lambda_1 & & &\\  &\lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{matrix}\right]\end{equation}$$

其中，$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$是$A$的特征值，$C$的$n$个列向量是$A$的特征值$\lambda_i$的标准正交向量

（4）$A$必合同于形如

$$\begin{equation} \left[ \begin{matrix} 1, & & & & & & & &\\  &1, & & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & &\\ & & & -1 & & & & & \\ & & & & -1 & & & & \\ & & & & & 0 & & & \\ & & & & & & 0 & & \\ & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & 0\end{matrix}\right]\end{equation}$$

的对角矩阵。

 

任意$n$阶矩阵与三角矩阵相似

 

$n$阶矩阵$A$与对角矩阵相似的充要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量