FIR & IIR 滤波器

• 参考
  • https://www.cnblogs.com/alifpga/p/7902759.html
  • https://www.zhihu.com/question/323353814

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1. FIR 物理意义

• 滤波，就是输入信号频率 X(f) 和期望的频率特征函数 H(f) 进行相乘；这是在频域的计算。那么在时间域，是做了一个卷积的计算。
• 因此FIR做的就是将各个时刻的输入和对应的权重参数相乘，并叠加之后输出。
  • 如下图所示，为一N点的FIR滤波器。满足$ y(n) = \sum\limits_{k=0}^{N-1}h(k)x(n-k)$
    
• 由于FIR每一时刻的输出都取决于之前有限个输入，因此是“有限冲激响应”。

2. IIR 物理意义

• IIR 滤波器设计的基本方法
  • 先设计一个合适的模拟滤波器，然后利用复值映射把模拟滤波器变换成数字滤波器。
• 模拟原型滤波器
  • 有 巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波器、椭圆滤波器等。
  • 之后有时间会进行更详细的学习。
• 模拟滤波器到数字滤波器的变换
  • 主要有两种方法
    • 脉冲响应不变法：从时域响应出发，让数字滤波器的单位脉冲响应h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)，h(n)等于ha(t)的取样值。
    • 双线性变换法：从频率响应出发，让数字滤波器的频率响应逼近模拟滤波器的频率响应，进而求得数字滤波器得系统函数。
• 无限冲激响应的理解
  • 首先看IIR滤波器表达式:
    $ y[n] = a_0x[n]+a_1x[n-1]+a_2x[n-2]+a_3x[n-3]+...+b_1y[n-1]+b_2y[n-2]+b_3y[n-3]+...$
    • 可以看到该公式是存在一个递归关系的，本步的计算结果会作为下一步的输入，无限递归下去。
  • 由于IIR是由模拟滤波器变换得到的，以下面滤波器为例。
    • 当给输入一个电压值（给输入一个冲激信号），电容会被充电，但是当电压值取消后，电容的电荷会被逐渐放掉，但是理论上永远不会变成0，导致输入会在无限长的时间产生影响。