随机过程-Brown运动

1827年，英国生物学家布朗（Robert Brown）最早观察和研究了悬浮在液体中的细小花粉微粒受到水分子连续撞击形成的运动情况，布朗运动因此而得名。1905年

爱因斯坦（Einstein）对它做出了合理的物理解释并求出了微粒的转移密度，1918年维纳（Norber Wiener）在数学上严格地定义了布朗运动（有时也称布朗运动为维纳

过程）。

布朗运动的只要原因是液体的所有分子都处于在运动中，而且互相碰撞，从而微粒周围有大量的分子以微小但起伏不定的力共同作用于它，使它被迫作不规

则运动。如果用Xt表示微粒在t时刻所处位置的坐标，由于液体是均匀的，自然设想从时刻t1到t2的位移为Xt_2--Xt_1是许多几乎完全独立的小位移之和，因而根据中心

极限定理，可以合理的假设Xt_2--Xt_1服从正态分布，而且对于不同时刻段的位移是独立的，则其数学定义为：

 定义：一个随机过程 {W(t)，t≥0}，它在微小时间间隔Δt之间内的变换为ΔW，如果

1）W(0)=0;       2) ΔW~N(0,σ^2 Δt)，其中σ>0为常数；   3）对于任何两个不同时间间隔，ΔW的值互相独立，即独立增量。

则称随机变量{W(t)，t≥0}的运动遵循布朗运动（或维纳过程）。若 σ^2 =1，则称 W(t) 为标准布朗运动。

注：

1）布朗运动是处处连续的，但是处处不可微，直观上来讲，这意味着它们的运动轨迹相当曲折。

2）对于标准运动，ΔW~N(0, Δt) 即 ΔW~sqrt(Δt) N(0, 1) ，若记随机变量ε~N(0,1)，则有 ΔW=ε*sqrt(Δt), 因此，当Δt→0时，有 dW=ε*sqrt(dt)。然而布朗运动是处处不可

微的，因此这里dW只能视作一种简单的标记。

数值模拟：以一维布朗运动为例，并给出MATLAB代码实现。

clc,clear;clf;
randn('state',100); % 随机数发生器的状态
T=1;
N=500;
dt=T/N;
dW=zeros(1,N);      
W=zeros(1,N);       
dW(1)=sqrt(dt)*randn;
W(1)=dW(1);
for j=2:N
   dW(j)=sqrt(dt)*randn; 
   W(j)=W(j-1)+dW(j);
end
plot([0:dt:T],[0,W],'r-');
xlabel('t'); ylabel('W(t)');

输出结果：