动态规划一：01背包问题
最近碰到很多有关于动态规划的问题，总结一下：
一、01背包问题（python实现）
例：给定3个物品，背包的容量为50磅
物品1重10磅，价值60；物品2重20磅，价值100；物品3重30磅，价值120
求背包能装下的最大价值
求解表如下
物品 0磅 10磅 20磅 30磅 40磅 50磅
0 0价值 0价值 0价值 0价值 0价值 0价值
1 0价值 60价值 60价值 60价值 60价值 60价值
2 0价值 60价值 100价值 160价值 160价值 160价值
3 0价值 60价值 100价值 160价值 180价值 220价值
由上表可知最大容量的最大价值是220
代码如下：
1 def weight_goods(n, weight, w, v): 2 #n是物品数 3 #weight是背包容量 4 #w列表是每个物品的体积 5 #v列表是每个物品的价值 6 7 #res1 = [[0 for j in range(weight+1)] for I in range(n+1)] 一步实现 8 #三种物品选入背包的重量对应的价值res[i]是,物品res[i][j]是选入物品的价值，用0初始化二维数组 9 res = [] 10 for I in range(n+1): 11 for j in range(weight+2): 12 a = [0]*j 13 res.append(a) 14 15 #当分别放入0，1，2，3物品的组合时，输出容量为0-50磅的价值 16 for I in range(1, n+1): 17 for j in range(0, weight+1): 18 res[i][j] = res[i-1][j] 19 20 #以下是状态转移方程：res[i][j] = max{res[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1], res[i][j]} 21 if j >= w[i-1] and res[i][j] < res[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]: 22 res[i][j] = res[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1] 23 24 #以上得出背包最大容量下的最大价值是res[n][weight],以下通过排列组合得出所有可能组合的价值值 25 #然后在判断容量不超过背包容量的情况下，过滤出与已知最大价值的值相等的组合，此组合就是装入背包的物品 26 import itertools 27 for i in range(len(w)+1): 28 h = list(itertools.combinations(range(1, len(w)+1), i)) 29 for j in h: 30 x = [] 31 y = [] 32 for z in j: 33 x.append(v[z-1]) 34 y.append(w[z-1]) 35 if sum(x) == res[n][weight] and sum(y) <= 50; 36 for z in j: 37 print('第', z, '个物品,', end='' ) 38 print('得到的最大价值=', res[n][weight]) 39 40 weight_goods(3, 50, [10,20,30], [60,100,120])
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