拓展摩尔投票

合集 - 算法(31)

1.算法学习笔记（1）：CDQ分治2023-11-172.算法学习笔记（2）：分块2023-11-303.算法学习笔记（3）：莫队算法2024-01-014.算法学习笔记（4）：FHQ平衡树（无旋平衡树）2024-01-015.算法学习笔记（5）：AC自动机2024-01-016.算法学习笔记（6）：优秀trick和性质合集2024-03-097.算法学习笔记（7）：数论2024-03-098.算法学习笔记（9）：第k大问题合集2024-03-169.算法学习笔记（10）：各种序的美好性质2024-03-1610.算法学习笔记（11）：历史版本和线段树2024-03-3111.算法学习笔记（12）：左偏树2024-04-0812.算法学习笔记（13）：同余最短路2024-04-1213.算法学习笔记（14）：区间最值操作和历史最值问题2024-04-2814.算法学习笔记（15）： Splay树2024-05-0615.算法学习笔记（16）：Link Cut Tree2024-05-0716.算法学习笔记（17）：Slope trick2024-05-1017.算法学习笔记（18）：珂朵莉树2024-05-1318.算法学习笔记（20）：网络流2024-05-1719.算法学习笔记（21）：数论分块2024-06-0620.算法学习笔记（22）：莫比乌斯反演2024-06-0621.算法学习笔记（23）：杜教筛2024-06-0722.算法学习笔记（24）：筛法2024-06-0823.暑假集训学习笔记（1）：lxl DS Day 12024-07-0224.暑假集训学习笔记（2）：lxl DS Day 22024-07-0225.暑假集训学习笔记（3）：lxl DS Day 32024-07-0426.多项式笔记2024-07-0827.生成函数笔记2024-07-0828.插头DP2024-07-2529.DP选讲做题记录 by 付乙淼2024-07-26

30.拓展摩尔投票2024-09-18

31.图论知识总结2024-09-25

收起

拓展摩尔投票

前言

了解到这个东西是从 CF840D 来的，我觉得这个题很典很套路，并且做法很多也很妙，并且我断定这种出现次数占比超过一个值的题一定有一种通法，于是在题解区了解到了拓展摩尔投票。

算法

考虑是摩尔投票的拓展，也就是我们可以在 $O(nk)$ 的时间内得到 $k-1$ 个数，并且所有频率严格大于 $\frac{1}{k}$ 的数都在这 $k-1$ 个数里面，但可能不足 $k-1$ 个数，所以这些数里面有些不满足条件，但是所有的满足条件的一定都在里面。

算法：一直删去不同的 $k$ 个数即可。

简单证明：
考虑如果这个数所占的频率大于 $\frac{1}{k}$，如果他被删一个，频率不变，因为总量变了，如果没删，那占比就更大了，所以他们一定活到最后。

性质

做一些定义来方便讲解，我定义 calc(A) 为对 $A$ 序列做一次摩尔投票，返回值为 $k-1$ 个元素，元素信息有值和出现次数两个。$A+B$ 为 $A$ 序列和 $B$ 序列两个首尾相接。

结合律：calc(A + B) = calc(calc(A) + calc(B))。

也就是我们可以 $O(k^2)$ 的合并两个区间，并且还可以 $O(k)$ 的插入一个元素。这就给我们维护区间信息提供了可能性。

例题

考虑只要和出现次数大于某个数相关的问题我们都可以直接用拓展摩尔投票加线段树维护，并且我们还可以支持 区间赋值和区间加减的修改操作。
题目： CF643G CF840D