牛逼题

合集 - 题解(21)

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calc by smallbasic

前言

拜谢smallbasic， 出的神题， 故写题解以记之。

题解

考虑各个数都在各自的范围内随机取值， 并且可以是实数， 这就很困难。 我们可以将其拆开， 得：

设 $X=\sum \lfloor x_i\rfloor ,Y=\lfloor \sum (x_i)\rfloor$。

$$(X+Y{)}^k=\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}{X}^i{Y}^{k-i}$$

从而把期望套上去则有：

$$\begin{array}{rl}E((X+Y{)}^k)& =E(\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}{X}^i{Y}^{k-i})\\ & =\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}E(X^i)E(Y^{k-i})\end{array}$$

因为完全随机， 所以小数和整数个随个的， 所以期望可以拆开。

$$E(X^j)=E((\sum \lfloor x_i\rfloor {)}^j)$$

这个东西我们尝试DP， $d{p}_{i,j}$ 就是考虑前 $i$ 个 $x$ 的 $E(X_i^j)$。 我们把这个式子拆开搞。

$$\begin{array}{rl}E(X_i^j)& =E((X_{i-1}+x_i{)}^j)\\ & =E(\sum _{t=0}^j{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{t})}{X}_{i-1}^t{x}_i^{j-t})\\ & =\sum _{t=0}^j{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{t})}E(X_{i-1}^t)E(x_i^{j-t})\\ & =\sum _{t=0}^j{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{t})}d{p}_{i-1,t}E(x_i^{j-t})\end{array}$$

因为 $x_i$ 是独立的， 随机的， 可以搬出来。

现在就要算 $E(x_i^j)$ 这个东西， 我们可以根据定义算， 就是 $$E(x_i^j)=\sum w^{j}P(w)=\frac{\sum _{t=l_i}^{r_i-1}{t}^j}{r_i-l_i}$$

这个东西要快速算 $O(k)$ 可以用拉插。

然后就剩下小数 $E((\lfloor \sum (x_i)\rfloor {)}^j)$ 了。

同样的我们用定义式计算， $E((\lfloor \sum (x_i)\rfloor {)}^j)=\sum w^{j}P(w)$

这个东西我们只能转化， 令 $s_i=\lfloor \sum _{j=0}^i{x}_j\rfloor ,t_i=(s_i)$。 我们发现 $s_i=s_{i-1}+1$ 等价于 $t_i<t_{i-1}$。 这一步非常的妙。

由于 $t_i$ 仍然是在 $[0,1)$ 完全随机， 那么我们就可以将问题转化成 $(\lfloor \sum (x_i)\rfloor )=$ 我随机生成的 $t$ 序列的相邻逆序对个数。 可以发现 $t_i$ 在实数域内完全随机， 两个数相同是不可能事件， 也就转化成 $t$ 序列互不相同， 也每个数出现概率相同， 那么我们就可以根据相对大小把它映射成一个排列。

所以我们就转化成了随机生成一个排列， 里面的相邻逆序对个数就是 $(\lfloor \sum (x_i)\rfloor )$。

于是就可以设计DP。

比较难设计的是我们不知道放在哪里会产生什么贡献， 所以多设计一维就是已经考虑的排列中有多少相邻逆序对， 并且我们从小到大的插数。

那么就会得到转移方程：

$$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}\ast (j+1)+d{p}_{i-1,j-1}\ast (i-j)$$