插头DP

插头DP

前言

今天学长讲了插头DP， 以前觉得他的模板就是黑题， 一定非常的难， 但是学习了之后发现它其实挺好理解， 但是难度该黑。

鉴于水品有限， 只简短的说一说， 给自己梳理一下思路。

算法

我们从模板题的弱化版开始讲：

P5074 Eat the Trees

我们发现要是闭合回路， 这只能老老实实状压， 不然没法让它合法， 更别说转移求方案数了， 但是这个线有很复杂， 可能可以压， 但是转移就需要巨复杂的分讨， 我们就不想了。 这时候就有两个巨牛的东西具有很好的性质， 可以很轻松的转移并且状态相对较少。

轮廓线和插头

就是我们维护这一排格子的轮廓线， 如图（from OI-wiki）：

我们将所有拐角往前推进， 然后枚举其所有状态， 我们在拐角处分讨推出下一个状态。

插头就是经过轮廓线的线， 也就是还没闭合的线， 就是支出来的线头， 可知我们轮廓线的每个位置只有两个状态， 这样子状态数就下来， 专一的话分讨也少了。

P5056 【模板】插头 DP

考虑只能有一个闭合回路， 所以我们的状态和转移就要保证只能有一个， 并且要只根据状态即可判断， 因为统计的是方案数， 我们的判定只能依据DP数组里面有的状态， 那我们可以考虑将插头定义为两种， 左插头和右插头， 只有在最后一个位置， 才能将左插头和右插头拼上， 那么分讨转移即可。

考虑为了方便我们用四进制来写， 三进制也可以， 但是四进制状态太多， 我们存不下， 可以拿个哈希表存储有用的状态， 也就是上一行推出的状态开个哈希表存起来， 这样子就是 \(O(3^12)\) 个状态。