插头DP

合集 - 算法(31)

1.算法学习笔记（1）：CDQ分治2023-11-172.算法学习笔记（2）：分块2023-11-303.算法学习笔记（3）：莫队算法2024-01-014.算法学习笔记（4）：FHQ平衡树（无旋平衡树）2024-01-015.算法学习笔记（5）：AC自动机2024-01-016.算法学习笔记（6）：优秀trick和性质合集2024-03-097.算法学习笔记（7）：数论2024-03-098.算法学习笔记（9）：第k大问题合集2024-03-169.算法学习笔记（10）：各种序的美好性质2024-03-1610.算法学习笔记（11）：历史版本和线段树2024-03-3111.算法学习笔记（12）：左偏树2024-04-0812.算法学习笔记（13）：同余最短路2024-04-1213.算法学习笔记（14）：区间最值操作和历史最值问题2024-04-2814.算法学习笔记（15）： Splay树2024-05-0615.算法学习笔记（16）：Link Cut Tree2024-05-0716.算法学习笔记（17）：Slope trick2024-05-1017.算法学习笔记（18）：珂朵莉树2024-05-1318.算法学习笔记（20）：网络流2024-05-1719.算法学习笔记（21）：数论分块2024-06-0620.算法学习笔记（22）：莫比乌斯反演2024-06-0621.算法学习笔记（23）：杜教筛2024-06-0722.算法学习笔记（24）：筛法2024-06-0823.暑假集训学习笔记（1）：lxl DS Day 12024-07-0224.暑假集训学习笔记（2）：lxl DS Day 22024-07-0225.暑假集训学习笔记（3）：lxl DS Day 32024-07-0426.多项式笔记2024-07-0827.生成函数笔记2024-07-08

28.插头DP2024-07-25

29.DP选讲做题记录 by 付乙淼2024-07-2630.拓展摩尔投票2024-09-1831.图论知识总结2024-09-25

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插头DP

前言

今天学长讲了插头DP， 以前觉得他的模板就是黑题， 一定非常的难， 但是学习了之后发现它其实挺好理解， 但是难度该黑。

鉴于水品有限， 只简短的说一说， 给自己梳理一下思路。

算法

我们从模板题的弱化版开始讲：

P5074 Eat the Trees

我们发现要是闭合回路， 这只能老老实实状压， 不然没法让它合法， 更别说转移求方案数了， 但是这个线有很复杂， 可能可以压， 但是转移就需要巨复杂的分讨， 我们就不想了。 这时候就有两个巨牛的东西具有很好的性质， 可以很轻松的转移并且状态相对较少。

轮廓线和插头

就是我们维护这一排格子的轮廓线， 如图（from OI-wiki）：

我们将所有拐角往前推进， 然后枚举其所有状态， 我们在拐角处分讨推出下一个状态。

插头就是经过轮廓线的线， 也就是还没闭合的线， 就是支出来的线头， 可知我们轮廓线的每个位置只有两个状态， 这样子状态数就下来， 专一的话分讨也少了。

P5056 【模板】插头 DP

考虑只能有一个闭合回路， 所以我们的状态和转移就要保证只能有一个， 并且要只根据状态即可判断， 因为统计的是方案数， 我们的判定只能依据DP数组里面有的状态， 那我们可以考虑将插头定义为两种， 左插头和右插头， 只有在最后一个位置， 才能将左插头和右插头拼上， 那么分讨转移即可。

考虑为了方便我们用四进制来写， 三进制也可以， 但是四进制状态太多， 我们存不下， 可以拿个哈希表存储有用的状态， 也就是上一行推出的状态开个哈希表存起来， 这样子就是 $O(3^{1}2)$ 个状态。