暑假集训学习笔记（1）：lxl DS Day 1

合集 - 算法(31)

1.算法学习笔记（1）：CDQ分治2023-11-172.算法学习笔记（2）：分块2023-11-303.算法学习笔记（3）：莫队算法2024-01-014.算法学习笔记（4）：FHQ平衡树（无旋平衡树）2024-01-015.算法学习笔记（5）：AC自动机2024-01-016.算法学习笔记（6）：优秀trick和性质合集2024-03-097.算法学习笔记（7）：数论2024-03-098.算法学习笔记（9）：第k大问题合集2024-03-169.算法学习笔记（10）：各种序的美好性质2024-03-1610.算法学习笔记（11）：历史版本和线段树2024-03-3111.算法学习笔记（12）：左偏树2024-04-0812.算法学习笔记（13）：同余最短路2024-04-1213.算法学习笔记（14）：区间最值操作和历史最值问题2024-04-2814.算法学习笔记（15）： Splay树2024-05-0615.算法学习笔记（16）：Link Cut Tree2024-05-0716.算法学习笔记（17）：Slope trick2024-05-1017.算法学习笔记（18）：珂朵莉树2024-05-1318.算法学习笔记（20）：网络流2024-05-1719.算法学习笔记（21）：数论分块2024-06-0620.算法学习笔记（22）：莫比乌斯反演2024-06-0621.算法学习笔记（23）：杜教筛2024-06-0722.算法学习笔记（24）：筛法2024-06-08

23.暑假集训学习笔记（1）：lxl DS Day 12024-07-02

24.暑假集训学习笔记（2）：lxl DS Day 22024-07-0225.暑假集训学习笔记（3）：lxl DS Day 32024-07-0426.多项式笔记2024-07-0827.生成函数笔记2024-07-0828.插头DP2024-07-2529.DP选讲做题记录 by 付乙淼2024-07-2630.拓展摩尔投票2024-09-1831.图论知识总结2024-09-25

收起

lxl DS Day 1

莫队本质

子树补的回滚莫队 O(nlogn)

P7124 [Ynoi2008] stcm

性质1： 考虑轻儿子的子树和为 $O(nlogn)$。

证明： 考虑每个结点会对多少个轻祖先做贡献， 也就是重链个数， 考虑每个节点到根节点重链条数为 $O(nlogn)$ ， 所以子树和为 $O(nlogn)$。

所以对于一条重链， 如果我们已经插入了链头的补集， 那么我们就可以直接暴力插入和删除求出这条重链上所有点的答案， 然后对于重链上轻儿子的答案， 我们可以如果可以得到轻儿子的补集， 就可以递归下去了。

考虑对于重链上所有轻儿子怎么搞， 可以对于所有轻儿子建出霍夫曼树， 然后遍历每个叶子节点， 可以证明轻儿子子树和为 $O(n)$ 的话， 这一步操作时间复杂度为所有节点带权子树和， 为 $O(nlogn)$。

证明： 考虑每个叶子节点对祖先的贡献， 考虑这是一课霍夫曼树， 每往上走一层子树大小至少翻倍， 所以树高$logn$， 子树和就是 $O(nlogn)$。

邻域相关

邻域查询

树分块

P2325 [SCOI2005] 王室联邦

考虑这是树分块的板子题，构造过程：

1. 从节点 $u$ dfs搜索下去， 考虑 $u$ 为省会， 所以遍历了超过 $B$ 节点就直接分为一块， 直到剩下一小坨的节点数小于 $B$， 把 $u$ 也带上， 分给 $u$ 的 $father$。
2. 对于 $father$， 也是递归上述过程。

有向邻域不删除莫队

P8204 [Ynoi2005] tdnmo

考虑树上邻域查询不删除莫队， 考虑树分块， 类似王室联邦的构造， 但是为了保证簇只有两个界点， 所以考虑多加一个限制就是， 如果最后剩下的儿子大于等于2个， 所以直接令 $u$ 为界点， 虽然这样多了一些 $siz$ 小于 $B$， 但是考虑可以证明不影响复杂度， 所以树分块直接就成功了， 这是最简单的建法了吧。

然后考虑回滚莫队， 所以考虑 $x$ 不在簇路径上的点，直接从空集到询问， 反正不会超过 $O(\sqrt{n})$。

考虑在簇路径上的点， 直接回滚到下界点， 跑回滚莫队就行了。

平面分块

半平面数点（数据随机）

P4475 巧克力王国

半平面数点， 可以用kdt， 但是数据不随机会被卡掉， 并且数据随机时， 可以有这个做法：

对于平面分块， 分成 $\sqrt{n}\times \sqrt{n}$ 的块， 每个块期望的点数是 $O(1)$ 的， 所以考虑对于与直线有交的残块， 直接暴力查询 $O(\sqrt{n})$ ， 对于整块， 做一下前缀和即可。

P9996 [Ynoi2000] hpi

同样可以半平面数点， 对于右上/左下的半平面， 统计每个右上/左下的点数。对于右下/左上的半平面， 容斥一下即可。

半平面莫队