算法学习笔记（22）：莫比乌斯反演

合集 - 算法(31)

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莫比乌斯反演

大部分内容摘自OI-WIKI

前置知识

数论分块

数论分块

狄利克雷卷积

$h(x)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\displaystyle \frac{x}{d}}\right)=\sum _{ab=x}f(a)g(b)$

积性函数

若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast },(x,y)=1$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为 积性函数。

若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为 完全积性函数。

单位函数：$\epsilon (n)=[n=1]$。（完全积性）
恒等函数：${\mathrm{id}}_k(n)=n^k，{\mathrm{id}}_1(n)$ 通常简记作 $\mathrm{id}(n)$。（完全积性）
常数函数：$1(n)=1$。（完全积性）
除数函数：${\sigma }_k(n)=\sum _{d\mid n}{d}^k。{\sigma }_0(n)$ 通常简记作 $d(n)$ 或 $\tau (n)，{\sigma }_1(n)$ 通常简记作 $\sigma (n)$。
欧拉函数： $\phi (n)=\sum _{i=1}^n[(i,n)=1]$
莫比乌斯函数：
$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \mathrm{\exists }d>1,d^2\mid n\\ (-1{)}^{\omega (n)}& \text{otherwise}\end{array}$，其中 $\omega (n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。

加性函数：对于加性函数 $f$，当整数 $a,b$ 互质时，均有 $f(ab)=f(a)+f(b)$。 应与代数中的加性函数 $(Additivemap)$ 区分。

莫比乌斯反演

性质1

$\sum _{d\mid n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}$

即 $\sum _{d\mid n}\mu (d)=\epsilon (n)$。

证明：
设 ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^k{p_i}^{c_i},n^{\prime }=\prod _{i=1}^k{p}_i}$。

又定义可得， ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)=\sum _{d\mid n^{\prime }}\mu (d)}$

且 ${\displaystyle \sum _{d\mid n^{\prime }}=\sum {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}(-1{)}^i}$， 这是由组合意义来的， 考虑因子就是 $p_i$ 的组合， 我们随机抓出 $i$ 就是 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}$。

由二项式定理得， ${\displaystyle \sum {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}(-1{)}^i=(1+(-1){)}^k}$。

接下来易得， 当 $k=0,n=1$时， $\sum _{d\mid n}\mu (d)=1$。

性质2

最重要的反演结论： ${\displaystyle [gcd(i,j)=1]=\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)}$
其实本质就是性质1，这是最重要的一步转化， $d\mid gcd(i,j)$ 也就是 $d\mid i\wedge d\mid j$。

我们可以转化为 $\sum \mu (d)\times \frac{n}{d}\times \frac{n}{d}$。 这样就可以用数论分块快速计算了。