算法学习笔记（21）：数论分块

合集 - 算法(31)

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数论分块

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引理1： $foralla,b,c\in \mathbb{Z},\lfloor \frac{a}{bc}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor \frac{a}{b}\rfloor }{c}\rfloor$

引理2： $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的取值有 $O(\sqrt{n})$ 种

引理 1 可以把一些分母搬上去， 转化成引理 2 的形式。 考虑引理 2 的式子的性质， 这启发我们计算 $\sum \frac{n}{i}$ 时
可以快速统计。

有一个结论: 取值为 $\frac{n}{l}$ 的最大的 $i$ 等于 $\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$。

所以我们就可以这么算 $\sum \frac{n}{i}$ ：

int Sum(int x) {
	int l = 1, r = 0, res = 0;
	while(l <= x) {
		r = x / (x / l);
		res += (r - l + 1) * (x / l);
		l = r + 1;
	}
	return res;
}

拓展的， 当我们需要计算 $\sum f_i\times \frac{n}{i}$时：

可以把 res += (r - l + 1) * (x / l); 替换成 res += (f[r] - f[l - 1]) * (x / l);。

再拓展地： 取值为 $\frac{n}{l}$ 的最大的 $i$ 为 $\lfloor \frac{n-1}{\lfloor \frac{n-1}{l}\rfloor }\rfloor$。

不严谨的证明：

引理4： $\lceil {\displaystyle \frac{n}{i}}\rceil =\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{i}}\rfloor +1$

证明： $\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{i}}\rfloor +1=\lfloor {\displaystyle \frac{n-1+i}{i}}\rfloor$， 考虑 ${\displaystyle \frac{i-1}{i}}<1$， 所以易得前面的式子成立。

所以 $\lceil {\displaystyle \frac{n}{i}}\rceil$ 分的块和 $\lfloor {\displaystyle \frac{n-1}{i}}\rfloor$ 分的块一致。

n维数论分块

我们考虑二维， 计算 $\sum \lfloor \frac{a_1}{i}\rfloor +\lfloor \frac{a_2}{i}\rfloor$。 我们要快速计算某一段 $(l,r)$ 的值， 也就是我们需要 $\sum _{l=1}^r\lfloor \frac{a_1}{i}\rfloor +\lfloor \frac{a_2}{i}\rfloor$， 中的 $\lfloor \frac{a_1}{i}\rfloor$ 都相同， $\lfloor \frac{a_2}{i}\rfloor$ 都相同。

所以 $r$ 端点取 $min(\lfloor \frac{a_1}{\lfloor \frac{a_1}{l}\rfloor }\rfloor ,\lfloor \frac{a_1}{\lfloor \frac{a_2}{l}\rfloor }\rfloor )$。