算法学习笔记（7）：数论

合集 - 算法(31)

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7.算法学习笔记（7）：数论2024-03-09

8.算法学习笔记（9）：第k大问题合集2024-03-169.算法学习笔记（10）：各种序的美好性质2024-03-1610.算法学习笔记（11）：历史版本和线段树2024-03-3111.算法学习笔记（12）：左偏树2024-04-0812.算法学习笔记（13）：同余最短路2024-04-1213.算法学习笔记（14）：区间最值操作和历史最值问题2024-04-2814.算法学习笔记（15）： Splay树2024-05-0615.算法学习笔记（16）：Link Cut Tree2024-05-0716.算法学习笔记（17）：Slope trick2024-05-1017.算法学习笔记（18）：珂朵莉树2024-05-1318.算法学习笔记（20）：网络流2024-05-1719.算法学习笔记（21）：数论分块2024-06-0620.算法学习笔记（22）：莫比乌斯反演2024-06-0621.算法学习笔记（23）：杜教筛2024-06-0722.算法学习笔记（24）：筛法2024-06-0823.暑假集训学习笔记（1）：lxl DS Day 12024-07-0224.暑假集训学习笔记（2）：lxl DS Day 22024-07-0225.暑假集训学习笔记（3）：lxl DS Day 32024-07-0426.多项式笔记2024-07-0827.生成函数笔记2024-07-0828.插头DP2024-07-2529.DP选讲做题记录 by 付乙淼2024-07-2630.拓展摩尔投票2024-09-1831.图论知识总结2024-09-25

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数论

lucas定理

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\mathrm{mod}p=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n/p}{m/p})\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\mathrm{mod}p}{m\mathrm{mod}p})$

数论分块

数论分块可以快速计算一些含有除法向下取整的和式（即形如 $\sum _{i=1}^{n}f(i)g(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )$ 的和式）。当可以在 $O(1)$ 内计算 $f(r)-f(l)$ 或已经预处理出 f 的前缀和时，数论分块就可以在 $O(\sqrt{n})$ 的时间内计算上述和式的值。
P2261 [CQOI2007] 余数求和

欧拉定理

若 $gcd(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

扩展欧拉定理

$$a^b\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{bmod\phi (p)},& gcd(a,p)=1\\ a^b,& gcd(a,p)\ne 1,b<\phi (p)\\ a^{bmod\phi (p)+\phi (p)},& gcd(a,p)\ne 1,b\ge \phi (p)\end{array}(\mathrm{mod}p)$$