莫比乌斯函数
前言
本文内容大部分来自Oier PoPoQQQ 的课件。\
onedrive, baidu
pan,密码:6ug5\
本文基本上由我学习相当于是制作的一篇学习笔记，但是将课件中的一些不完善的地方加以完善
使得更容易理解，加上了部分例题的代码
引子
介绍莫比乌斯反演之前我们先来看一个函数
根据的定义
于是我们便可以通过推导出
在推导的过程中我们是否发现了一些规律?
莫比乌斯反演
莫比乌斯反演[1]
莫比乌斯反演定义
其中为莫比乌斯函数[1]，定义如下
莫比乌斯函数的定义式[2]
莫比乌斯函数的性质
(1)
当n不等于1时，n所有因子的莫比乌斯函数值的和为0，\
设
那么
证明：
(2)
对于有:
(3)
积性函数 数论上积性函数的定义\
积性函数的性质\
\
积性函数的前缀和也是积性函数\
\
因为积性函数是积性函数,
因此可以通过线性筛求出莫比乌斯函数的值
mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){
not_prime[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[prime[j]*i]=0;
break;
}
mu[prime[j]*i]=-mu[i];
}
}
例题1:
题目大意：求第k个无平方因子数[3]\
做法：
首先二分答案，问题转化为求之间有多少个无平方因子数\
根据容斥原理可知，对于之内所有的质数，
答案G(x)=0个质数平方倍数的个数-1个质数平方倍数的个数+2个质数平方倍数的个数-...，
那么对于偶数个质数平方对于答案的贡献就是正的，否则是负的，\
如果不是若干个互异质数的乘积，那么对答案没有影响，
如何表示这个式子呢?\
观察莫比乌斯函数的定义[1]，可以知道对于能对答案产生贡献的数，，其中为分解得到质数的个数
根据上述说明，那么可以得知结果\
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #define N 100005 using namespace std;bool not_prime[N];
int prime[N];
int mu[N];
int tot;void Mu(int n){
int i,j;
mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(j=1;prime[j]i<=n;j++){
not_prime[prime[j]i]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[prime[j]i]=0;
break;
}
mu[prime[j]i]=-mu[i];
}
}
}
int can(int x){
int sum=0;
int s=floor(sqrt(x));
for(int i=1;i<=s;++i)
if(mu[i])
sum+=mu[i]floor(x/(ii));
return sum;
}
int main(){
Mu(N);int T,sum;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&num);
long long l=1,r=num<<1,mid;
while(l<r){
mid=(l+r)>>1;
if(can(mid)<num)
l=mid+1;
else r=mid;
}
printf("%lld\n",r);
}
return 0;
}
莫比乌斯反演定理的证明
证明：
形式二:
证明同理，一般要用到的都是这种形式
莫比乌斯反演的应用
对于一些函数,如果我们很难直接求出它的值，而容易求出倍数和或约数和,
那么我们可以直接利用莫比乌斯反演来求得的值
例:
f(n)表示某一范围内(x,y)=n的数对的数量，\
F(n)表示某一范围内n|(x,y)的数对的数量\
那么直接求f(n)并不是很好求，而F(n)求起来相对无脑一些，\
那么我们可以通过对F(n)进行莫比乌斯 反演来求得f(n)</p>
例题2:
题目大意：询问有多少对满足且。
根据容斥原理，这个题目就可以转化成
其中答案为</p>
那么我们需要快速求出
这个式子可以进一步转化为
考虑莫比乌斯反演, 令
分析可知这个算法的复杂度是
我们还需要对这个算法进行进一步优化
因为至多只有个取值，
那么至多只有个取值
因为使得成立的值都是连续的，
所以可以维护一个莫比乌斯函数的前缀和，
这样就可以在的时间内出解
枚举除法的取值在莫比乌斯反演的应用当中非常常用
if(a>b)swap(a,b);
for(i=1;i<=a;i=last+1){
last=min(a/(a/i),b/(b/i));
re+=(a/i)(a/i)(sum[last]-sum[i-1]);
}
return re;
代码异常好写
#include<iostream>include<cstdio>
include<cmath>
define N 50005
define inf 0x7fffffff
using namespace std;
bool not_prime[N];
int prime[N];
int sum[N];
int mu[N];
int tot;void Mu(int n){
int i,j;
mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(j=1;prime[j]i<=n;j++){
not_prime[prime[j]i]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[prime[j]i]=0;
break;
}
mu[prime[j]i]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int ans(int n,int m){
if(n>m)swap(n,m);
int last,i,re=0;
for(i=1;i<=n;i=last+1){
last=min(n/(n/i),m/(m/i));
re+=(n/i)(m/i)(sum[last]-sum[i-1]);
}
return re;
}
int main(){
Mu(N);
int T;
int a,b,c,d,k;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
a--;c--;
a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
int Ans=ans(b,d)-ans(a,d)-ans(b,c)+ans(a,c);
printf("%d\n",Ans);
}
return 0;
}
BZOJ 10s但是luogu却莫名WA\
全部加上long long 之后总算是过了\
百思不得其解
例题3
BZOJ 2820
YY的GCD\
题目大意：求有多少数对满足满足为质数
做法：
