bzoj 2440: [中山市选2011]完全平方数

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100

1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

Source

这个题目需要用到莫比乌斯函数、二分答案、容斥原理

做法：

首先二分答案，问题转化为求\(\left[1,x\right]\)之间有多少个无平方因子数
根据容斥原理可知，对于\(sqrt(x)\)之内所有的质数，
答案G(x)=0个质数平方倍数的个数-1个质数平方倍数的个数+2个质数平方倍数的个数-...，
那么对于偶数个质数平方对于答案的贡献就是正的，否则是负的，\如果不是若干个互异质数的乘积，那么对答案没有影响，
如何表示这个式子呢?
观察莫比乌斯函数的定义\ref{1}，可以知道对于能对答案产生贡献的数\(x\)，\(\mu(x)=(-1)^k\)，其中\(k\)为\(x\)分解得到质数的个数
根据上述说明，那么可以得知结果

\[G(x)=\sum_{i=1}^{\lfloor \sqrt{x}\rfloor}\mu(i)\lfloor \frac{x}{i^2}\rfloor \]

第一次这么快AC一个题真是美滋滋
在BZOJ上跑了4s多不算很快

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 100005
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;

bool not_prime[N];
int prime[N];
int mu[N];
int tot;

void Mu(int n){
    int i,j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++){
    	if(!not_prime[i]){
    		prime[++tot]=i;
    		mu[i]=-1;
    	}
	    for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){
		    not_prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
    			mu[prime[j]*i]=0;
    			break;
    		}
		    mu[prime[j]*i]=-mu[i];
	    }
    }
}    

int can(int x){
    int sum=0;
    int s=floor(sqrt(x));
    for(int i=1;i<=s;++i)
        if(mu[i])
           sum+=mu[i]*floor(x/(i*i));
    return sum;
}

int main(){
    Mu(N);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int num;
        scanf("%d",&num);
        long long l=1,r=num<<1,mid;
        while(l<r){
            mid=(l+r)>>1;
            if(can(mid)<num)
                l=mid+1;
            else r=mid;
        }
        printf("%lld\n",r);
    }
    return 0;
}