某题4

“从左到右再回来”不太方便思考，可以改成：两个人同时从最左点出发，沿着两条不同
的路径走，最后都走到最右点，且除了起点和终点外其余每个点恰好被一个人经过。这样，
就可以用\(d(i,j)\)表示第一个人走到\(i\)，第二个人走到\(j\)，还需要走多长的距离。
状态如何转移呢？仔细思考后会发现：好像很难保证两个人不会走到相同的点。例如，
计算状态\(d(i,j)\)时，能不能让\(i\)走到\(i＋1\)呢？不知道，因为从状态里看不出来\(i＋1\)有没有被j走
过。换句话说，状态定义得不好，导致转移困难。
下面修改一下：\(d(i,j)\)表示\(1～max(i,j)\)全部走过，且两个人的当前位置分别是i和j，还需
要走多长的距离。不难发现\(d(i,j)=d(j,i)\)，因此从现在开始规定在状态中\(i＞j\)。这样，不管是
哪个人，下一步只能走到\(i+1,i+2,\cdots\)这些点。可是，如果走到\(i+2\)，情况变成了“\(1～i\)和\(i+ 2\)，但是\(i+1\)没走过”，无法表示成状态！怎么办？禁止这样的决策！也就是说，只允许其中
一个人走到i＋1，而不能走到\(i+2,i+3,\cdots ,\)。换句话说，状态\(d(i,j)\)只能转移到\(d(i+1,j)\)和\(d(i+ 1,i) (4)\)。
可是这样做产生了一个问题：上述“霸道”的规定是否可能导致漏解呢？不会。因为如果
第一个人直接走到了i+2，那么它再也无法走到i+1了，只能靠第二个人走到i+1。既然如
此，现在就让第二个人走到i+1，并不会丢失解。
边界是\(d(n-1,j)=dist(n-1,n)＋dist(j,n)\)，其中\(dist(a,b)\)表示点\(a\)和\(b\)之间的距离。因为根据
定义，所有点都走过了，两个人只需直接走到终点。所求结果是\(dist(1,2)＋d(2,1)\)，因为第一
步一定是某个人走到了第二个点，根据定义，这就是\(d(2,1)\)。
状态总数有\(O(n^2)\)个，每个状态的决策只有两个，因此总时间复杂度为\(O(n^2)\)。