H. Needle[FFT]或bitset

Problem - H - Codeforces

题意是给三面墙(简化为一条轴)，然后给墙上的洞（简化成点），问多少直线可以从第一面墙穿出第三面墙。

要使三点共线，那么(b-a)=(c-b)即(a+c)=2*b

由于n是1e5所以O(n²)会超时。有两种做法

1.本题的任意两数相加的步骤类似多项式乘法，我们把a,c看成两个多项式的系数，然后用FFT，最后计算下b里每个元素*2指数的系数之和即可。注意数组的数可能有负数，整体+3e4即可。

查看代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<complex>
#define int long long
using namespace std;
typedef complex<double> comp; 
const comp I=comp(0, 1);
const double PI = acos(-1);
const int MAXN=500005;
comp d[150005],e[150005],f[150005];
int ans=0,a,c,b[150005];
int rev[MAXN * 3];
void fft(comp F[], int N, int sgn = 1)
{
	int bit = __lg(N);
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bit - 1));
		if (i < rev[i])
			swap(F[i], F[rev[i]]);
	}
	for (int l = 1; l < N; l <<= 1) 
	{
		comp step = exp(sgn * PI / l * I);
		for (int i = 0; i < N; i += l * 2) 
		{
			comp cur(1, 0);
			for (int k = i; k < i + l; ++k)
			{
				comp g = F[k], h = F[k + l] * cur;
				F[k] = g + h, F[k + l] = g - h;
				cur *= step;
			}
		}
	}
	if(sgn==-1)
	{
		for(int i=0;i<N;i++)
		F[i]/=N;
	}
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int aa,bb,cv,zx=0,cx=0;
	cin>>aa;
	for(int i=1;i<=aa;i++)
	{
		cin>>a;
		a+=30000;
		zx=max(a,zx);
		e[a]+=1;
	}
	cin>>bb;
	for(int i=1;i<=bb;i++)
	{
		cin>>b[i];
		b[i]+=30000;
	}
	cin>>cv;
	for(int i=1;i<=cv;i++)
	{
		cin>>c;
		c+=30000;
		cx=max(cx,c);
		f[c]+=1;
	}
	int A=1<<__lg(cx+zx+1)+1;
	fft(e,A,1);
	fft(f,A,1);
	for(int i=0;i<A;i++)
		d[i]=e[i]*f[i];
	fft(d,A,-1);
	for(int i=1;i<=bb;i++)
		ans+=((d[b[i]*2].real())+0.1);//FFT+0.1避免浮点数的问题 
	cout<<ans;
	return 0;
}

2.用bitset解决。在CF看到的解法，比第一种简单且易于实现。

(b-a)=(c-b)，-> (-a+b)=(c-b)

那么我们将其中另一条反转下。因为b所在的点仅仅是0，那么反转后与运算为1的数目就是0位置b点可通过的方式数。

那么b的-1这个怎么找呢？从原图我们可以看到(0,-2)是符合条件的。 (-a+b)=(c-b)得知，需要一个+b一个-b，那么此时对准的孔洞只有一个

那么用bitset实现即可。在CF上第二种时间大概是第一种的10倍。

查看代码

 //https://codeforces.com/gym/102920/problem/H
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include<iostream>
#include<bitset>
#define int long long
using namespace std;
bitset<60005>a,c;
int b[50005],n,m,x;
signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x;
		a[x+30000]=1;
	}
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)cin>>b[i];
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x;
		c[30000-x]=1;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(b[i]>0)
		ans+=((a>>b[i])&(c<<b[i])).count();
		else ans+=((a<<(-b[i]))&(c>>(-b[i]))).count();
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}