位运算经典例题

异或实现加法

int add(int a, int b){
    return a & b == 0 ? a ^ b : add(a ^ b,  (a & b) << 1);
}

Single Number

问题描述：数组中有一个元素出现了p次，其他元素均出现了k次，求该元素
解决方法：
正常思路是统计每个元素出现的次数，即可求出该元素，通过位运算，我们可以实现对元素的统计
先令p = p % k，这样我们统计的上限最多为k，需要\(m = \log \left \lceil k \right \rceil\)个位来表示，也就是对每个位进行计数。

我们先单单看一位，比如32位整数的第一位1st，对于新来的数，如果新来的数该位为1，则我们需要增加第一位对应的m-counter计数器，当计数器达到k时清空为0，最后的p的二进制表示对应的x即可。
先用一个例子说明一下，如k=5，p=3那么对于32位整数的第一位而言，如果single number的该位为1的话，那么该位对应的计数器必定计数了k * r（r为整数） + p次，由于p=3（二进制11）那么该计数器的第一位和第二位都会被置为1，其他位同理，返回x1或者x2即可
现在的主要问题就为当一个位上的1或0来的时候

• 如何在计数器上实现加法
• 如何在计数器计数达到k时清零
  对于第一个问题，我们知道只有当前m-1个数全是1的时候，遇到0才会进位，

    xm ^= (xm-1 & xm-2 & .. & i)
    xm-1 ^=  ( xm-2 & .. & i)
    x1 ^= i

对于第二个问题，我们可以用掩码解决，假定k的二进制表示为101，那么只要第3位和第1位为1，说明计数器已满，需要清0

    mask = ~ (x1 & ~x2 & x3)
    x1 &= mask
    xm &= mask

例题

137. Single Number II
k=3, p = 1

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int x2 = 0, x1 = 0, mask;
        for(int i : nums){
            x2 ^= (x1 & i);
            x1 ^= i;
            mask = ~(x1 & x2);
            x1 &= mask;
            x2 &= mask;
        }
        
        return x1;
    }
};

另一种思路也可以使用01来实现三进制，根据真值表写出逻辑表达式

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int a = 0, b = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            
            int t = (~a&b&nums[i]) | (a&~b&~nums[i]);
            b = (~a&b&~nums[i]) | (~a&~b&nums[i]);
            a = t;
            
        }
        
        return a | b;
    }
};

参考

• Leetcode 137 Discuss