B+树索引

B+树索引文件

B+s树采用平衡树的结构，根到叶的每条路径长度相同，每个非叶结点有
\(\left \lceil n/2 \right \rceil\) ~ \(n\)个指针

如图，对于一个包含m个指针的结点（\(m \leq n\)）有\(K_{i-1} \leq val(P_i) < K_i\) （ i = 2,3,...,m-1）， \(P_1\)指向小于\(K_1\)的部分， \(P_m\)指向大于等于\(K_{m-1}\)的部分，通常将一个结点的指针数称为扇出（fanout）

B+树查询

如果没有重复的搜索码，我们找到最小的i使得\(K_i\)大于等于V，如果\(K_i == V\)，则将当前结点设置为\(P_{i+1}\), 如果\(K_i > V\)，则将当前结点设置为\(P_i\),如果叶结点中没有等于V的搜索码值，则find返回空值表示失败。
如果有重复的搜索码，则\(i < j\), \(K _i < K_j\)不一定成立，但一定有\(K _i \leq K_j\),也就是相同搜索码可能在一些连续的结点中，于是我们修改Find方法，即使\(V == K_i\)，也将其置为\(P_i\),在到达叶结点的时候，找到第一个符合条件的值，这样我们将find方法修改为findFirst，然后在叶结点遍历，范围查询（range query）也是如此，查找（L, U）是先findFirst(L)，只是结束条件变成了\(K_i\)> U而不是V

如果文件有N个搜索码值，那么这条路径的长度不会超过\(\left \lceil log_{\left \lceil n/2 \right \rceil} (N))\right \rceil\)，结点大小一般等于磁盘大小4KB，如果搜索码大小为12字节，磁盘指针大小为8字节，那么n大约为200，更保守估计，搜索码大小达到32字节，n也大约为100。n=100,文件中搜索码值有100万时，一次查找也只需要访问\(\left \lceil log_{\left \lceil 50 \right \rceil} (1 000 000))\right \rceil\) = 4个结点，通常根结点访问频繁，很可能在缓冲区中，因此一般只需要从磁盘读三个或更少的磁盘块

B+树与内存中的二叉树的区别

B+树与二叉树的一个重大区别在于结点的大小和树的高度，B+树一般矮而胖，二叉树一般瘦而高

B+树的更新

插入

若叶结点未满，则直接插入
当叶结点过满，则需要分裂叶结点，将新结点的最小搜索码值插入其父结点中，这样也可能会引起父结点过满，则递归向上处理，直到不再产生分裂或生成新的根结点为止

删除

若删除导致结点太空，这种情况下，我们考虑其兄弟结点，如果能合并就合并，如果合并超过了最大数量n，则需要在该结点和其兄弟结点间重新分配指针，以便每个结点至少含\(\left \lceil n/2 \right \rceil\)个指针，如下图，将左边兄弟结点的最右指针移动到太空的右边兄弟

B+树扩展

辅助索引

B+树可能改变记录的位置，但记录本身并没有更新，如结点分裂，这样所有存储了重定位的辅助索引必须更新，其代价可能十分高昂，为解决这个问题，在辅助索引中，不存储指向被索引记录的指针，而是存储主索引搜索码的值，然后通过主索引来找到对应的记录

字符串上的索引

在字符串上创建索引会引来两个问题，

字符串是变长的
字符串可能会很长，导致结点扇出降低以及增加树的高度

对于变长搜索码，即使结点全满，不同的节点也会有不同的扇出，如果一个结点已满，则它必须分裂，所以结点的分裂取决于结点的空间使用比例，而不是结点的最大可容量项数
使用前缀压缩可以增加结点的扇出，如对于由搜索码“Silberschatz”分开的两个子树中最相近的码值为“Silas”与“Silver”，则非叶结点存储“Slib”就够了而不用存储“Silberschatz”

多码访问

使用多个单码索引

对于上述查询语句，有三种查询策略

利用dept_name上的索引，找出所有属于“Finance”的记录，然后逐一检查是否满足salary=80000
利用salary上的索引，找出所有salary=80000的记录，然后逐一检查是否满足属于“Finance”
利用dept_name上的索引找到满足dept_name=“Finance”的所有指针，利用salary上的索引，找出所有salary=80000的所有指针，取交集

最后一种方案利用了已存在的多个索引的优势，但是如果下列条件都成立，这种策略也可能是种糟糕的选择