算法复杂度
算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用： 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。
一 时间复杂度
在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。
（1）时间频度 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
（2）时间复杂度 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示。若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐进行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。
T (n) = Ο(f (n)) 表示存在一个常数C，使得在当n趋于正无穷时总有 T (n) ≤ C * f(n)。
二 空间复杂度
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)
例子
1.O（1）
for(i=0;i<5;i++) ① { printf（“12345”）； ② }
t=i; ③ i=j; ④ j=t; ⑤
语句1的频度为6，语句2频度为5. 语句123均为1。这些语句的执行次数（执行时间）是与问题规模n无关的一个常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。
2.O（n）
for(i=0;i<n;i++) ①
{ printf("12345"); } ②
语句1的频度为n+1，语句2的频度为n。此程序的总频度为2n+1。与问题规模n成线性关系。（即n每增加1，总频度增加一个常数（n的系数））。记作T(n)=O(n).
3.O(n²)
sum=0； （1次） for(i=1;i<=n;i++) （n+1次） for(j=1;j<=n;j++) （n²次） sum++； （n²次）
因为Θ(2n2+n+1)=n2（Θ即：去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到），所以T(n)= =O(n2)
4.O(log n)
i=1; ① while (i<=n) i=i*2; ②
语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值 f(n)=log2n,
T(n)=O(log2n ) (常见于二分法程序中)
5.O(2n)
decimal Calculation(int n) { decimal result = 0; for (int i = 0; i < (1 << n); i++) result += i; return result; }
1<<n表示：1先转成二进制 在左移n位 然后补0
比如 1<<2 1的二进制为 0000 0001 左移2位 0000 0100. 如果再转成10进制就是4。
此程序n每增大1，1<<n变为原来的2倍。循环内语句执行次数变为原来的2倍。所以基本步骤的执行数量为 2n，所以算法复杂度为 O(2n)。
斐波那契数列：
- Fib(0) = 0
- Fib(1) = 1
- Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)
F() = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
斐波那契数列（非递归）
1 int FeiBoNaCciInteration(int a,int b,int num) 2 { 3 int c; 4 5 if (num <= 0) 6 return -1; 7 else if (num == 1) 8 return a; 9 else if (num == 2) 10 return b; 11 else 12 { 13 while (num - 2) 14 { 15 c = a + b; 16 a = b; 17 b = c; 18 num--; 19 } 20 return c; 21 } 22 23 }
时间复杂度 O(n) 空间复杂度O(1)
斐波那契数列（递归算法）
int FeiBoNaCciRecursion(int num) { if (num < 0) return -1; if (num <= 2 && num > 0) return 1; else return FeiBoNaCciRecursion(num - 1) + FeiBoNaCciRecursion(num - 2); }
fib(5) / ⑤ \⑧ fib(4) fib(3) /③ \ ④ / ⑥ \⑦ fib(3) fib(2) fib(2) fib(1) / ① \ ②
fib(2) fib(1)
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) ,程序执行时会先把最左边那条叉走到底。返回之后走到右孩子节点，之后返回双亲节点，走到双亲右边的节点，返回到当前的上一层双亲节点，再走右边......在走到最底层它创建n个变量num，在返回过程中会销毁掉创建的num，进入新分支会创建num。所以程序走到最底层时内存占用最大，显然空间复杂度=O(n).
n每增加1，就会多出一半的路要走。所以时间复杂度=O(n2).
