数学理论基础

理论基础

下面该栏目列出一些可能会用到的已经证实的理论! 大多数的理论均来自^[1].

对于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射

\[\begin{aligned} d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\\ &(x,y) \mapsto d(x,y) \end{aligned} \]

定义如下几个性质:

1. 非负性: \(d(x,y)\geq 0, d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\)
2. 对称性: \(d(x,y) = d(y,x)\)
3. 三角不等式: \(d(x,y)\leq d(x,z) + d(z,y)\)

1 距离空间

定义 1.1 设 \(X\) 是非空集合, 对于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射

\[\begin{aligned} d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\\ &(x,y) \mapsto d(x,y) \end{aligned} \]

同时满足非负性, 对称性, 三角不等式, 则称 \(d(x,y)\) 是元素 \(x\) 与 \(y\) 之间的距离. 在集 \(X\) 中定义了距离 \(d\) 之后, 就称 \(X\) 为距离空间, 记作 \((X,d)\). \((X,d)\) 中的元素又称为点.

设 \(A\) 是距离空间 \((X,d)\) 的子集, 则 \(A\) 按 \(X\) 中定义的距离 \(d\) 也形成一个距离空间 \((A,d)\), 称为 \((X,d)\) 的子空间, 有时我们也简称 \(A\) 是 \(X\) 的子空间.

1.1 由距离导出的拓扑概念

设 \(X = (X,d)\) 为距离空间, \(x_0 \in X, r > 0,\) 则

\[B(x_0,r) = \{x\in X: d(x,x_0) < r\} \]

称为以 \(x_0\) 为中心, \(r\) 为半径的 \(r\) 球形邻域; 而

\[\overline{B}{(x_0,r)} = \{x\in X: d(x,x_0) \leq r\} \]

称为以 \(x_0\) 为中心, \(r\) 为半径的 \(r\) 闭球.

\(S(x_0,r)=\{x\in X: d(x,x_0) = r\}\) 称为球面. 设 \(A,B \subset X,\) 则 \(d(x,B) = \inf\; \{d(x,y):y \in B\}\) 称为 \(x\) 与集 \(B\) 之间的距离; \(d(A,B) = \inf\; \{d(x,y):x, \in A,y \in B\}\) 称为集 \(A\) 与 \(B\) 之间的距离.

\(\operatorname{diam} A = \sup \{d(x,y):x,y\in A\}\) 称为集 \(A\) 的直径. 设 \(A\subset X\), 若存在球 \(B(x_0,r) \supset A,\) 则称 \(A\) 为 \(X\) 中的有界集.

定义 1.2 设 \(x_n, x_0 \in X,\) 若

\[\lim_{n\rightarrow \infty} d(x_n,x_0) = 0 \]

即 \(\forall ε > 0, ∃ N,\) 使得 \(∀ n \geq N,\) 有 \(d(x_n,x_0) < ε\), 则称点列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x_0\), 记作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0\) 或 \(x_n \rightarrow x_0\,(n\rightarrow \infty)\).

1.2 完备性

定义 1.3 设 \(\{x_k\}\) 是距离空间 \((X,d)\) 中的点列, 若 \(∀ε>0,∃N,\) 使得 \(∀m,n \in N,\) 有 \(d(x_m,x_n) < ε,\) 则称 \(\{x_k\}\) 是 \((X,d)\) 中的柯西点列或基本点列.

定义 1.4 设 \((X,d)\) 为距离空间, \(E ⊂ X,\) 若 \(E\) 中每个柯西点列都收敛于 \(E\) 中的点, 则称 \(E\) 为完备集, 特别, 当 \(E=X\) 时, 称 \((X,d)\) 为完备距离空间.

由实数的完备性, 我们可得 \(\mathbb{R}^n\) 是完备的.

2 赋范线性空间

在高等代数课程中, 已经熟悉在集合 \(X\) 中引入线性运算 (\(X\) 中元素的加法和数乘运算) 就形成了线性空间. 设 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是数域 \(K\) 上线性空间的一组元素, 若存在不全为 \(0\) 的数 \(\alpha _k \in K\), 使得 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 则称 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是线性相关的, 否则, 称 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 线性无关, 即若 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 则 \(\alpha _k=0\). 设 \(X\) 的子集 \(A\) 中任何有限个向量都线性无关, 则称 \(A\) 为线性无关集; 若 \(A\) 对 \(X\) 中的线性运算是封闭的, 则称 \(A\) 为 \(X\) 的线性子空间, 简称子空间.
称

\[\operatorname{span}A = \{y = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k:x_k\in A,\alpha _k\in K, ∀n\} \]

为由 \(A\) 张成的子空间, 或称 \(A\) 的线性包. 设 \(A\) 是 \(X\) 的线性无关子集, 若 \(\operatorname{span}A=X\), 即对 \(∀x\in X,∃x_k \in A, \alpha _k\in K,\) 使得 \(x = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k\), 则称 \(A\) 为 \(X\) 的一组线性基 (或 Hamel 基), 称 \(A\) 的基数为 \(X\) 的维数, 记作 \(\operatorname{dim} A\).

设 \(X, Y\) 为数域 \(K\) 上的线性空间. 若 \(T: X \rightarrow Y\) 是满单射且为线性映射, 即: 对 \(\forall x,y \in X, \alpha , \beta \in K\), 有

\[T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty \]

则称 \(X\) 与 \(Y\) 线性同构或代数同构. \(T\) 称为同构映射, 数域 \(K\) 上两个有限维线性空间 \(X\) 与 \(Y\) 同构的充要条件是 \(X\) 与 \(Y\) 的维数相同.

为了在线性空间中引入拓扑概念, 下面我们引入范数的定义, 通过范数来定义距离.

定义 2.1 设 \(X\) 是数域 \(K\) (实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)) 上的线性空间, 若存在映射

\[\begin{aligned} T:\;&X\rightarrow \mathbb{R}^1\\ &x\mapsto ||x|| \end{aligned} \]

满足:

• \(||x|| \geq 0,\) 且 \(||x|| = 0 \Leftrightarrow x=0\)
• \(||\alpha x|| = |\alpha |||x||, \alpha \in K\) (绝对齐性)
• \(||x+y|| \leq ||x|| + ||y||, x,y\in X\) (三角不等式)

则称 \(||x||\) 是元素 \(x\) 的范数, 定义了范数 \(||⋅||\) 的线性空间 \(X\) 称为赋范线性空间, 记作 \((X,||\cdot||)\).

若对 \(∀ x,y\in X,\) 令

\[d(x,y) = ||x-y|| \]

则易证 \(d\) 是 \(X\) 上的距离空间, 称 \(d\) 为由范数 \(||⋅||\) 导出的距离.

定义 2.2 设 \((X,||\cdot||)\) 是赋范线性空间, \(\{x_n\}\) 是 \(X\) 中的点列, \(x \in X\), 若

\[d(x_n,x) = ||x_n-x||\rightarrow 0(n\rightarrow \infty) \]

则称 \(\{x_n\}\) 依范数收敛于 \(x\) (或 \(\{x_n\}\) 强收敛于 \(x\)), 记作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x\) 或 \(x_n \rightarrow x\,(n\rightarrow \infty)\).

完备的赋范线性空间称为 Banach 空间, 简称为 (B) 空间. 用范数刻画有界集: 若 \(A⊂ X, \displaystyle\sup_{x\in A} ||x||<\infty\), 则称 \(X\) 为有界集.

定义 2.3 设 \(\{e_n\}\) 是赋范线性空间 \((X,||\cdot||)\) 中的可数集, 若对 \(∀ x \in X,\) 在数域 \(K\) 中存在唯一确定的数列 \(\{c_k\}\), 使得

\[||x - \displaystyle\sum_{k=1}^n c_ke_k|| \rightarrow 0\;(n\rightarrow \infty) \]

则称 \(\{e_n\}\) 为 \(X\) 的 Schauder 基, 简称为 (S) 基, 记作

\[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} c_ke_k \]

上式称为 \(x\) 关于基 \(\{e_n\}\) 的展开式.

定义 2.4 设 \(X\) 是线性空间 \(X\) 中的子集, \(x,y\in X\), 集合 \(\{λx + (1-λ)y:0\leq λ \leq 1\}\) 称为联结 \(x,y\) 两点的线段, 记作 \([x,y]\). 若对 \(\forall x,y\in X, [x,y] \subset A,\) 则称 \(A\) 为 \(X\) 中的凸集, 而集 \(\{x=\displaystyle\sum_{k=1}^n λ_kx_k: λ_k \geq 0, \displaystyle\sum_{k=1}^n λ_k = 1\}\) 称为 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的凸组合. 我们很容易知道 \(X\) 的线性子空间是凸集.

赋范线性空间 \((X,||\cdot||)\) 中的单位球 \(B(0,1)=\{x\in X: ||x||\leq 1\}\) 是 \(X\) 中的凸集.

3 内积空间

定义 3.1 设 \(X\) 是数域 \(K\) (实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)) 上的线性空间, 若存在映射

\[\begin{aligned} T:\;&X \times X \rightarrow K\\ &(x,y) \mapsto (x,y) \end{aligned} \]

满足:

• 正定性: \((x,x) \geq 0, (x,x)=0 ⇔ x=0\)
• 对第一变元线性: \((\alpha x+βy,z) = \alpha (x,z) + β(y,z); x,y,z\in X, \alpha ,β \in K\)
• 共轭对称性: \((x,y) = \overline{(y,x)}\)

则称 \((x,y)\) 为 \(x,y\) 的内积, 定义了内积的线性空间 \(X\) 称为内积空间.

定义 3.2 设 \(X\) 为内积空间, \(x,y\in X,\) 若 \((x,y)=0\), 则称 \(x\) 与 \(y\) 正交, 记作 \(x \bot y\); 设 \(A, B ⊂ X,\) 若对 \(∀y \in A, (x,y)=0,\) 则称 \(x\) 与 \(A\) 正交, 记作 \(x\bot A\); 若对 \(∀x \in A, y \in B, (x,y)=0,\) 则称 \(A\) 与 \(B\) 正交, 记作 \(A \bot B\), 集 \(A^{\bot} = \{x\in X: x\bot A\}\) 称为 \(A\) 的正交补, \(A^{\bot\bot} =(A^{\bot})^{\bot}\).

定理 1 设 \(X\) 是数域 \(K\) 上的内积空间, 则对 \(∀x,y \in X\), 成立 Schwarz 不等式:

\( |(x,y)|^2 \leq (x,x)(y,y) \)

仅当 \(x,y\) 线性相关时等号成立.

定理 2 设在内积空间 \(X\) 中, 令

\[||x|| = \sqrt{(x,x)} \]

则 \(||\cdot||\) 是 \(X\) 上的范数, 从而 \((X, ||\cdot||)\) 为赋范线性空间.
完备的赋范线性空间称为 Hilbert 空间.

定理 3 设 \(X\) 为内积空间, 则内积 \((x,y)\) 是 \(x,y\) 的连续函数, 即若 \(x_n \rightarrow x, y_n \rightarrow y\), 则 \((x_n,y_n) \rightarrow (x,y)(n\rightarrow \infty)\).

定理 4 赋范线性空间 \((X,||\cdot||)\) 是内积空间的充要条件是其范数要满足平行四边形法则:

\[||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2) \]

定理 5 设 \(X\) 为内积空间, \(A,B\) 为 \(X\) 中的非空子集, 则

• 若 \(x\bot y\), 则 \(||x+y||^2 = ||x||^2 = ||y||^2\) (勾股定理)
• \(A^{\bot}\) 是 \(X\) 的闭线性子空间
• \(A⊂B⇒A^{\bot} ⊃ B^{\bot}\)
• \(A ∩ A^{\bot} = \{0\}\) 或 \(∅\)
• \((\overline{A})^{\bot} = A^{\bot}; (\overline{\operatorname{span}A})^{\bot} = A^{\bot}\)
• \(X^{\bot} = \{0\}, \{0\}^{\bot} = X\)

3.1 最佳逼近问题

设 \(X=(X,d)\) 为距离空间, \(A\) 为 \(X\) 的非空子集, 则 \(x\) 到 \(A\) 的距离为

\[d(x, A) = \inf \{d(x,y):y\in A\} \]

对于 \(x \in X\), 若存在 \(y_0\in A\), 使得

\[d(x,y_0) = d(x,A) \]

则称 \(y_0\) 是 \(x\) 在集 \(A\) 中的最佳逼近元.

定理 6 (变分引理) 设 \(X\) 为内积空间, \(A\) 是 \(X\) 中非空完备凸集, 则对 \(∀ x \in X\), 存在唯一的最佳逼近元 \(y_0\in A\), 成立

\[||x-y_0|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\}. \]

若 \(\{y_n\}⊂A\), 使得

\[\displaystyle\lim_{n→∞} ||x-y_n|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\} \]

成立, 则称 \(\{y_n\}\) 为极小化序列.

定理 7 (正交分解 或 投影定理) 设 \(A\) 是内积空间 \(X\) 的完备子空间, 则对任意 \(x\in X\), 存在唯一的正交分解:

\[x = y_0 + z, y_0\in A, z\in A^{\bot} \]

设 \(X\) 为线性空间, \(A,B\) 为 \(X\) 的子空间, 则 \(A\) 与 \(B\) 的直和定义为

\[A + B=\{x = y+z:y\in A z\in B\} \]

设 \(X\) 为内积空间, 当 \(A\bot B\) 时, 称直和为正交和, 记作 \(A\oplus B\), 即

\[A \oplus B=\{x = y+z:y\in A z\in B, \text{且 }(y,z)=0 \} \]

定义 3.3 设 \(A\) 是内积空间 \(X\) 的子空间, \(x\in X\), 若存在 \(y\in A, z\in A^{\bot}\), 使得 \(x=y+z\), 则称 \(y\) 是 \(x\) 在 \(A\) 上的正交投影, 简称投影, 记作 \(y=P_Ax\), 并称 \(P_A: X→ A\) 为投影算子. 定理 7 表明当 \(A\) 是内积空间 \(X\) 的完备子空间时, \(X\) 可以分解为 \(X = A \oplus A^{\bot}\).

4 嵌入

定义 4.1 设 \((X, d_1)\) 和 \((Y, d_2)\) 是距离空间, 若存在双射 \(T: X \rightarrow Y\), 使得

\[d_2(Tx_1,Tx_2) = d_1(x_1,x_2), \;\;\; \forall x_1,x_2 \in X \]

则称 \((X, d_1)\) 与 \((Y, d_2)\) (通过 \(T\)) 等距同构, \(T\) 称为等距同构映射. 若 \((X, d_1)\) 与 \((Y, d_2)\) 的某个子空间 \((Y_0,d_2)\) 等距同构, 则称 \((X,d_1)\) 可嵌入 \((Y,d_2)\). 在等距同构的意义下, 可将 \((X,d_1)\) 看作 \((Y,d_2)\) 的子空间, 并简记为

\[(X, d_1) \subset (Y, d_2) \]

注意 : 从集合角度来看, \(X\) 不一定是 \(Y\) 的子集.

定义 4.2 设 \(X\) 与 \(Y\) 是赋范线性空间, 若算子 \(T: X \rightarrow Y\) 满足 \(||Tx|| = ||x||, \forall x \in X\), 则称 \(T\) 是 保范算子. 若线性算子 \(T: X \rightarrow Y\) 是双射, 则称 \(T\) 是 等距同构映射, 简称 同构映射. 这时称 \(X\) 与 \(Y\) 等距同构, 简称 同构, 记作 \(X=Y\).
若存在 \(A \subset Y\), 使得 \(A\) 与 \(X\) 同构, 则称 \(X\) 可嵌入到 \(Y\) 中.

若一个抽象的赋范线性空间 \(X\) 与一个具体的赋范线性空间 \(Y\) 同构, 则称 \(Y\) 是 \(X\) 的一个表示.
注意 : 若将定义 2中的线性改为共轭线性, 即

\[T(\alpha x + \beta y) = \overline{\alpha} Tx + \overline{\beta} Ty, \forall \alpha, \beta \in K \]

则称 \(X\) 与 \(Y\) 共轭同构, 仍记作 \(X=Y\).

定义 4.3 设 \(X\) 与 \(Y\) 是数域 \(K\) 上的赋范线性空间, \(D\) 是 \(X\) 的线性子空间. 若映射 \(T: D \rightarrow Y\) 满足

• 可加性: \(T(x+y)=Tx+Ty,\;\;\; x,y \in D\)
• 齐性: \(T(\alpha x) = \alpha Tx,\;\;\; x \in D, \alpha \in K\)

则称 \(T\) 是 \(D\) 到 \(Y\) 的线性算子; 称 \(D(T) = D\) 为 \(T\) 的定义域; 称 \(R(T) = \{Tx|x\in D \}\) 为 \(T\) 的值域; 并称

\[N(T)(=\ker(T)) = \{x \in D | Tx=0\} = T^{-1}(0) \]

为 \(T\) 的零空间 (或核).

有界线性算子范数 设 \(X\) 与 \(Y\) 是赋范线性空间, 若 \(T:X \rightarrow Y\) 为 有界线性算子, 则称

\[||T|| = \sup\{||Tx||/||x||: x \in X, x \neq 0 \} \]

为 有界线性算子范数.

有界线性算子空间 设 \(X\) 与 \(Y\) 是数域 \(K\) 上的赋范线性空间, \(X\) 到 \(Y\) 的有界线性算子全体记作 \(B(X,Y)\). \(\forall T_1,T_2 \in B(X, Y), \alpha \in K\). 对于 \(\forall x \in X\), 规定线性运算为:

\[ \begin{aligned} &(T_1 + T_2) (x) = T_1x + T_2x, \\ &(\alpha T)(x) = \alpha Tx \end{aligned} \]

易知, \((B(X,Y),||\cdot ||)\) 是赋范线性空间, 称为 有界线性算子空间.
特别, 当 \(Y=K\) 时, 简记作 \(B(X, K) = X^{*}\), 并称其元素为 有界线性泛函, 且 \(X^{*}\) 称为 \(X\) 的 共轭空间.

定义 4.4 设 \(X\) 是数域 \(K\) 上的赋范线性空间, 若 \(X^{*} = X\), 则称 \(X\) 为 自共轭空间.

定理 8 任何赋范线性空间 \((X, ||\cdot||)\) 都与 \(X^{**}\) 的子空间保范线性同构, 在同构的意义下, 可记作 \(X \subset X^{**}\), 即
\(\forall x \in X\), 定义泛函 \(F_x: X^{*} \rightarrow K\), \(f \mapsto f(x)\), 即

\[F_x(f) = f(x) \;\;\text{ $x$ 固定, $\forall f \in X^{*}$ } \]

则 \(F_x \in (X^{*}) = X^{**}\)， 且 \(||F_x|| = ||x||\).

定理 9 \(n\) 维实赋范线性空间 \(E_n\), 有 \((E_n)^{*} = E_n\).
设 \(e_1,\cdots, e_n\) 是 \(E_n\) 的一组基, 则 \(\forall f \in (E_n)^{*}\), 存在唯一的 \(\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in E_n\), 使得 \(f\) 在 \(E_n\) 上的表示为

\[f(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\alpha_k,\;\; \forall x \in E_n, x = \sum_{k=1}^n x_ke_k \]

实际上, $\alpha_k = f(e_k) $ 是由 \(f\) 唯一确定的. 同时, \((E_n)^{*}\) 中的泛函 \(f\) 的范数 \(||f|| = ||\alpha||\) 则依赖于 \(E_n\) 中元素 \(x\) 的范数 \(||x||\) 的选取.

4.1 重要技巧

将原空间 \(X\) 的问题通过嵌入映射 \(\mathcal{T}\) 转换为 \(X^{**}\) 中的问题, 即将 \(x\in X\) 转换为 \(F_x \in X^{**}\), 且 \(||F_x|| = ||x||\). 而线性泛函 \(F_x\) 要比抽象空间 \(X\) 中的元素 \(x\) 更容易处理.

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1. 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社.2002.8 ↩︎