数学。

怎么我怎么唐。

推一次就忘一次。

EXCRT

直接到合并两个同余方程。

\[ \begin{cases} x \equiv b (\bmod a)\\ x \equiv d (\bmod c) \end{cases} \]

我们将 \(x\) 拆成 $x = ak + b $。

接着便有

\[ak+b \equiv d (\bmod c) \]

整理一下，得到

\[k \equiv \frac{d - b}{a} (\bmod c)\\ d - (a \times k + b) = c \times r \\ a \times k + c\times r = d - b \]

我们开始求一下 \(a\) 在模 \(c\) 下的逆元 \(inv\)。无解的情况便是 $ gcd(a,c) \nmid d-b $ ，当然你用另外一个柿子也行。

合并后，$x \equiv ak+b \equiv(d-b) \times inv \times a + b (\bmod c) $。

跑 \(n-1\) 次即可。

rep(i,2,n){
		cin>>c>>d;
		int e=__gcd(a,c),f=(d-b%c+c)%c,inv;
		c/=e,f/=e;
		exgcd(a/e,c,inv,*new int),inv=(inv%c+c)%c;
		b+=f*inv%c*a,a*=c,b%=a;
}

crt 是什么，能吃吗/yiw

裴蜀定理推论

在 \(a_1,a_2,a_3...,a_n\) 的 $ n $ 个数中，存在\(x_1,x_2,x_3...,x_n\) 使得 $ a_1 \times x_1 +...a_n \times x_n = gcd(a_1,a_2,...,a_n) $

exgcd

求 $a\times x_0 + b\times y_0 = gcd(a,b) = d $ 的东西就不写了。

\(a\times x + b\times y = c\)

显然 当 $d \nmid c $ 时是无解的（裴蜀定理）。
此时一组特解 \(x,y\)是

\[ \begin{cases} x=x0 \times \dfrac{c}{d} \\ \\ y=y0 \times \dfrac{c}{d}\\ \end{cases} \]

实际上，我们并不满足只求出一个特解，如果有解，显然有无穷解。

令\(a\times \varDelta x + b\times \varDelta y = c\)

显然有

\[a\times \varDelta x + b\times \varDelta y = a\times x + b\times y \\ a \times (\varDelta x -x) + b\times (\varDelta y-y) = 0 \]

设 \(\mid \varDelta' \mid = \mid a \times (\varDelta x -x) \mid = \mid b\times (\varDelta y-y) \mid\)

那么有 $a,b \mid \varDelta' ,lcm(a,b) \mid \varDelta' $

所以 \(\mid\varDelta x\mid\) 是 \(\tfrac{lcm(a,b)}{a}=\tfrac{b}{d}\) 的倍数，另外的也同理。

然后通解就是

\[ \begin{cases} x=\tfrac{c}{d}x_0 + \tfrac{b}{d}k\\ y=\tfrac{c}{d}x_0 - \tfrac{a}{d}k\\ \end{cases} \]

exLucas

这个还不是很会。

幂塔

递归。注意到每次的规模是会缩小到一半。

插板法

求\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4...+x_k = n\) 的正整数解数。

因为很典，这里就不证明了，答案是\(C_{n-1}^{k-1}\)

非负数？对原来每个数加上 \(1\)。

应该还是很好构造的。

卡特兰数

经典结论：出栈入栈，二叉搜索数，括号序列，不经过对角线的路径数。

个人认为比较好用的是第四个。

第四个可以用对称的这一个性质证明。实际上，这是反射容斥。

你会证吗，证尼玛。

结论很经典。

1.\(f(n)=\dfrac{C_{2n}^{n}}{n+1}\)

1.\(f(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(i) \times f(n-i-1)\)

1.\(f(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)

树上拓扑序计数

\(\dfrac{n!}{\varPi sz_i}\)

证明先咕咕。

容斥

主要是题目。

所有条件都满足的 =钦定满足一个条件的 –钦定满足两个条件的 +钦定满足某三个条件的...。

实际做题中，你可以将限制条件一步一步的加上。

柿子一定一定要先写出来，对着他一步一步看。

矩阵

构造举证的时候，如果出现了变量，可以考虑枚举变量，找规律。

都知道的东西：\(max(,+)\)和\(min(,-)\)的东西是有结合律的，可以把矩阵给构造出来。

高斯消元

本身很简单，但很多东西还不会/kel。

莫反

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