数论------欧拉函数

 

 

定义：　　

　　F（n）其的值为    x在区间【1，n-1】中满足gcd（x，n）等于1的x的数量   （即x与n互质的数目）

 

求值：

　　先对n'进行唯一分解，取出所有质因数　　F（n）=n*（1-1/P₁）*（1-1/P₂）......   *   (1-1/P_n）  

 

唯一分解定理：

　　　任何一个整数n都可以写成        n = P₁^E₁    *    P₂^E₂      ...      *   P_N^{E_{n     （其中p为质数，e为指数）}}

 

 

 

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/*
性质：
        1.假设n为素数，则F(n)=n-1
        2.假设m,n互质，则F(n*m)=F(n)*F(m)     （则也是积性函数的性质，特别重要）
        3.假设n为奇数，则F(2*n)=F(n)        证明很简单，2与n互质，且F(2)=1,即：F(2*n)=F(n)*F(2)=F(n) 
        4.只有F(2)=1,其他F(n)的值都是偶数
        5.一个数的所有质因子之和::(F(n)*n/2) 
        6.aF(n)%n=1(%n)    (a,n互质)----->欧拉定理
            对于性质6，当n为质数的时候，就变成了费马小定理了    an-1%n=1(%n) 

*/ 

 

 

typedef long long ll;
ll euler(int n){
    ll ans=1;
    for (ll i=2;i*i<=n;i++){
        if (n%i==0){     
            ans*=(i-1);   //因为欧拉函数也是积性函数 
            n/=i;
            while (n%i==0){
                n/=i;
                ans*=i;
            }
        }
    }
    if (n>1)    ans*=(n-1);
    return ans;
}

 

 

贴题：

 

 

hdu1286（模板题）

 

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int eulor(int n){
    int sum=1;
    for (int i=2;i*i<=n;i++){ 
        if (n%i==0){
            n/=i;
            sum*=(i-1);
            while (n%i==0){
                n/=i;
                sum*=i;    
            }
        }
    }
    if (n>1)    sum*=(n-1);
    return sum;
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n;
        cin>>n;
        cout<<eulor(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

 

 

 

hdu2588

 题意：

　　　　题目问的是   满足该条件gcd（x，n）>=m，x的取值数目。

　　　　其中题目给定     x取值范围为【1，n-1】，题目给出n和m

 

解法：

　　　　假设gcd（x，n）=d，     显然d是x和n的因数，所以可以看成  gcd（x/d,n/d）=1　　　　然后枚举满足条件的n/d，即可  

#include<iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll euler(int n){
    ll ans=1;
    for (ll i=2;i*i<=n;i++){
        if (n%i==0){     
            ans*=(i-1);   
            n/=i;
            while (n%i==0){
                n/=i;
                ans*=i;
            }
        }
    }
    if (n>1)    ans*=(n-1);
    return ans;
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while (t--){
        ll n,m,ans=0,i;
        cin>>n>>m;
        for (i=1;i*i<=n;i++){
            if (n%i==0){
                if (i>=m)
                    ans+=euler(n/i);
                if (n/i>=m) 
                    ans+=euler(i);
            }
        }
        if (i>m&&(i-1)*(i-1)==n)    ans-=euler(i-1);
        cout<<ans<<endl;
    }
    
    return 0;
}

 

 

 

 

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上述的是单个欧拉函数值求法，现在介绍类似于线性筛的筛法一次求多组的方法：

 

 

 

 

hdu2824

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN=3e6+10;
int pri[MAXN];
void euler(){
    pri[1]=1;
    for (int i=2;i<MAXN;i++){
        if (!pri[i]){
            for (int j=i;j<MAXN;j+=i){
                if (!pri[j])    pri[j]=j;
                pri[j]=pri[j]/i*(i-1);
            }
        }    
    }
    return ;
} 
int main(){
    euler();
    int a,b;
    while (cin>>a>>b){
        ll ans=0;
        for (int i=a;i<=b;i++){
            ans+=pri[i];
            
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}