【转载】 图解最小堆形成-以数组方式表示
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最小(大)堆
最小(大)堆是一颗完全二叉树,该树中的某个节点的值总是不大于(不小于)其左右子节点的值。可以通过下图理解,另外,为什么会使用数组来保存呢?因为利用完全二叉树的性质,我们可以通过数组来表示完全二叉树(数组下标与完全二叉树节点存在映射关系,比如父节点可以通过Math.floor((index-1)/2)来获取),从而简化了实现及开销,避免使用额外的指针来实现树结构。
最小(大)堆性质
- 树根节点的值是所有堆节点值中最小(大)值。
- 树中每个节点的子树也都是最小(大)堆。
最小(大)堆作用
- 最小(大)堆能保证堆顶元素为最小,而如果使用数组无法达到该效果。数组如果要访问最小值则需要遍历查找最小值,时间复杂度至少O(n)。而最小堆访问最小值时间复杂度为O(1),当然天底下没有免费的午餐,我们需要做额外的工作去维护最小(大)堆的结构,这也是需要复杂度花销的。
当然这也是最小(大)堆的优势,通过动态维护使得最小值的获取代价很小,实际上维护的时间复杂度为O(logN)。而数组则无法做到如此,如果数组想要维护顺序性则需要的复杂度至少为O(N)。这样来看最小(大)堆的优势就凸现出来了。
插入操作
为避免冗长累赘,我们这里只挑最小堆作为例子进行说明,最大堆的情况与最大堆相似。
现在分别插入4 7 2 5 6 1 0 3 8,使用一个数组来保存最小堆,为了帮助理解,数组下方提供一个逻辑上的完全二叉树的结构,两者结合着更容易理解其中机制。首先插入4,
接着插入7,插入后检测到树符合最小堆要求,所以不改动。
继续插入2,插入后检测到不符合最小堆要求,父节点4大于右子节点2,
于是将它们对调。
继续插入5,插入后检测到不符合最小堆要求,父节点7大于左子节点5,
于是将它们对调。
继续插入6,插入后检测到树符合最小堆要求,所以不改动。
继续插入1,插入后检测到不符合最小堆要求,父节点4大于左子节点1,
于是将它们对调,
对调后继续检测到不符合最小堆要求,父节点2大于右子节点1,
继续将它们对调。
继续插入0,插入后检测到不符合最小堆要求,父节点2大于右子节点0,
于是将它们对调,
对调后继续检测到不符合最小堆要求,父节点1大于右子节点0,
继续将它们对调。
继续插入3,插入后检测到不符合最小堆要求,父节点7大于左子节点3,
于是将它们对调,
对调后继续检测到不符合最小堆要求,父节点5大于左子节点3,
继续将它们对调,然后符合最小堆要求,不必继续往上对调。
继续插入8,插入后检测到树符合最小堆要求,所以不改动。以上,完成所有元素的最小堆插入操作。
删除操作
删除操作其实就是删除最小值,即最小堆树中的根节点。主要是将树中最后一个节点替换到被删除的根节点,然后自顶向下递归调整使之符合最小堆要求。
删除根节点0,然后将树的最后一个节点8补到根节点上。
比较根节点的左右子节点,
因为右子节点1比较小,所以我们要进一步比较的是根节点8与右子节点1,
1小于8,于是对调。
继续比较现在节点8的左右子节点,
因为右子节点2比较小,所以我们要进一步比较的是根节点8与右子节点2,
2小于8,于是对调。
至此,完成最小值删除操作。
作者:超人汪小建(seaboat)
来源:CSDN
原文:https://blog.csdn.net/wangyangzhizhou/article/details/84934558
简单的插入操作代码
int a[10010];
int cnt=0;
void _insert(int x){
cnt++;
a[cnt]=x;
int wz=cnt;
while(wz>1&&a[wz/2]>a[wz]){
a[wz]=a[wz/2];
a[wz/2]=x;
wz/=2;
}
}