CF1334E Divisor Paths（$\gcd$+组合数学）
这是一道数论题，而不是图论题。
整个思路大概可以分成两步走：构造最短路，最短路计数。当然都是数学方法。
一、构造最短路
有一个我到最后也没猜出来的结论：\(u\) 和 \(v\) 之间的最短路，一定经过 \(\gcd(u,v)\)。
要理解这句话，必须先明白题目里路径长度的含义：\(d(y)-d(x)\)，\(d\)为约数个数函数。乘上一个质数 \(p\)，约数个数增多；除掉 \(p\)，约数个数减少。因此，如果我们不是从 \(u\) 直奔 \(\gcd(u,v)\)，我们势必会因为乘上了多余的质数而走“冤枉路”。
仍然不理解？可以发现，如果不是从 \(u\) 直奔 \(\gcd(u,v)\)，我们一定会做乘法，而乘上的数又会被除掉（类似上山再下山），有的边权被加了两次。否则，我们一路除掉 \(u\) 有 \(v\) 没有的质因数（一路下坡），不会出现“加两次”的状况，路程就是 \(d(u)+d(v)-2\times d(\gcd(u,v))\)。
\(v\) 到 \(\gcd(u,v)\) 的过程相似。
有一个问题：为什么不走 \(\text{lcm}(u,v)\) 呢？我不会证明，只会感性理解（走到 \(\text{lcm}(u,v)\) 增加的约数更大，可能造成更多的因子个数？）Codeforces题解下面的评论区里有人给出了详细证明。
二、最短路计数
设 \(cnt\) 为 \(x\gets\dfrac{u}{\gcd(u,v)}\) 的质因子个数，\(cnt_v\) 为每个质因子各自的数目，从 \(u\) 到 \(\gcd(u,v)\) 最短路条数为 \(ans\)，就有如下算式：
\( \large ans=\dfrac{cnt!}{\prod\limits_{v\in \text{prime}}^{v\vert x}cnt_v!} \)
运用组合数学知识，正确性显然。
三、AC 代码（部分）
inline LL solve(LL x){
LL sum=0,a,b=1;
for(int i=1;i<=tot;++i){
LL cnt=0;
while(x%p[i]==0) ++cnt,x/=p[i];
b=b*fac[cnt]%MOD;
sum+=cnt;
}
a=fac[sum];
return a*_pow(b,MOD-2)%MOD;
}
int main(){
LL D,q;
scanf("%lld%lld",&D,&q);
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=100;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
LL d=D;
for(LL i=2;i*i<=D;++i){
if(d%i==0) p[++tot]=i;
while(d%i==0) d/=i;
}
if(d>1) p[++tot]=d;
while(q--){
LL u,v;
scanf("%lld%lld",&u,&v);
LL g=gcd(u,v);
printf("%lld\n",solve(u/g)*solve(v/g)%MOD);
}
return 0;
}
