[SDOI2016]征途（斜率优化）

在一个风雨如晦的晚上， q0000000 同学被一道紫题切爆了。

这里是题目传送门和千辛万苦后的AC记录。

一、 关于思路

q0000000 是奔着斜率优化来刷题的，如果他在考场上遇到这道题，他就得先推完式子才知道了。

1. 路的长度和天数，这似乎是两个可以用的状态；
2. 题目里出现了方差这种奇怪的东西，应该从这里开始推式子；
3. 题目给出了 \(v \times m^2\) 的输出形式，推式子的时候显然要把它乘上——为什么一开始没乘呢？

q0000000 想要先推一个暴力式子，然后优化它。

二、 关于式子

从方差的定义出发 \(s^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}\) .

乘上 \(m^2\) ，得 \(m\sum_{i=1}^{m}{{x_i}^2}-\sum_{i=1}^{m}{{x_i}^2}\) .

不难发现，后半部分是一个常量， \(m\) 也可以最后一起乘，真正要关注的只有 \(\sum_{i=1}^{m}{{x_i}^2}\) 。dp数组记录的也就是它——最小平方和，这可以用前缀和处理一下。

定义 \(f_{k,i}\) 为前 \(i\) 段路走了 \(k\) 天，从第一天到现在，每天走的路径长度之和的最小平方和。

dp式子得到了，\(f_{k,i}=min\{f_{k-1,j}+(s_i-s_j)^2\}\)。式子中的 \(s_i-s_j\) 表示第 \(k\) 天走的距离，这一天走了第 \(j+1\) 到 \(i\) 段路，把它加进整体的最小平方和。时间复杂度为 \(O(n^2m)\)

转化为斜率优化形式反而较为简单， \(f_j+{s_j}^2=2\times s_i\times s_j+(f_i-{s_i}^2)\) 。 \(y,x,k,b\) 不必赘述。时间复杂度 \(O(nm)\) 。

三、 关于爆零

1. 初始化 f 数组，第一天走任意远，否则后面会少情况。求前缀和顺便 f[1][i]=s[i]*s[i] ，枚举天数从 2 开始。
2. 回看暴力思路，枚举天数，枚举这一天走到哪，枚举昨天走到哪，“每一天都是一个全新开始”，注意清空队列。

   for(int k=2;k<=m;++k){
   	int l=1,r=1;
   	//枚举i                  
   }
   

3. 其他斜率优化细节。

四、 关于代码

#include<stdio.h>
typedef long double db;
typedef long long ll;
const int N=3000+10;
int n,m;
ll s[N],f[N][N],q[N];
inline ll rd(){
	ll x=0;int f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f^=1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f?x:-x;
}
inline db k(int p,ll a,ll b){
	db Y=(f[p][a]+s[a]*s[a])-(f[p][b]+s[b]*s[b]);
	db X=s[a]-s[b];
	return Y/X;
}
int main(){
	n=rd(),m=rd();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		s[i]=rd();
		s[i]+=s[i-1],f[1][i]=s[i]*s[i];
	}
	for(int j=2;j<=m;++j){
		int l=1,r=1;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			while(l<r&&k(j-1,q[l],q[l+1])<=2*s[i]) ++l;
			f[j][i]=f[j-1][q[l]]+(s[i]-s[q[l]])*(s[i]-s[q[l]]);
			while(l<r&&k(j-1,q[r-1],q[r])>=k(j-1,i,q[r])) --r;
			q[++r]=i;
		}
	}
	printf("%lld\n",m*f[m][n]-s[n]*s[n]);
	return 0;
}

THE END