机器学习公开课笔记(1)：机器学习简介及一元线性回归
初步介绍
监督式学习: 给定数据集并且知道其正确的输出应该是怎么样的，即有反馈（feedback），分为
- 回归 （Regressioin）: map输入到连续的输出值。
- 分类 （Classification）：map输出到离散的输出值。
非监督式学习: 给定数据集，并不知道其正确的输出是什么，没有反馈，分为
- 聚类（Clustering）： Examples: Google News, Computer Clustering, Markert Segmentation.
- 关联（Associative）：Examples: 根据病人特征估算其病症.
一元线性回归
假设（Hypothesis）：$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x$
参数（Parameters）：$\theta_0, \theta_1$
代价函数（Cost Function）：$J(\theta_0, \theta_1) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}\right)^2$，最小二乘法
目标函数（Goal）: $\min\limits_{\theta_0, \theta_1}J(\theta_0, \theta_1)$
梯度下降算法（Gradient descent）
基本思想：
- 初始化$\theta_0, \theta_1$
- 调整$\theta_0, \theta_1$直到$J(\theta_0, \theta_1)$达到最小值, 更新公式($\theta_j = \theta_j - \alpha\frac{\partial}{\partial \theta_j}J(\theta_0, \theta_1)$)
对于一元线性回归问题，对$J(\theta_0, \theta_1)$求偏导数可得
$$\frac{\partial J}{\partial \theta_0} = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}2\times\left(\theta_0 + \theta_1x^{(i)} - y^{(i)} \right) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)$$
$$\frac{\partial J}{\partial \theta_1} = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}2\times\left(\theta_0 + \theta_1x^{(i)} - y^{(i)} \right)x^{(i)} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)x^{(i)}$$
从而参数$\theta_0, \theta_1$的更新公式为
$$\theta_0 = \theta_0 - \alpha\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)$$
$$\theta_1 = \theta_1 - \alpha\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)x^{(i)}$$
其中$\alpha$称为学习速率（learning rate），如果其太小，则算法收敛速度太慢；反之，如果太大，则算法可能会错过最小值，甚至不收敛。另一个需要注意的问题是，上面$\theta_0, \theta_1$的更新公式用到了数据集的全部数据 （称为“Batch” Gradient Descent），这意味着对于每一次 update ，我们必须扫描整个数据集，会导致更新速度过慢。
线性代数复习
- 矩阵和向量定义
- 矩阵加法和数乘
- 矩阵-向量乘积
- 矩阵-矩阵乘积
- 矩阵乘法的性质：结合律，交换律不成立
- 矩阵的逆和转置：不存在逆元的矩阵称为“奇异（singular）矩阵”
参考文献
[1] Andrew Ng Coursera 公开课第一周
