【算法02】3种方法求解斐波那契数列
题目：定义Fibonacci数列如下：
分析1：看到斐波那契数列几乎所有的程序员在第一时间的反应都是“递归”，没错了，作为和汉诺塔一样的经典递归问题，我们几乎毫不犹豫就可以写出如下的代码：
1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 long Fibonacci(unsigned int n)
6 {
7 if(n == 0)
8 return 0;
9 else if(n == 1)
10 return 1;
11 else
12 return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
13 }
14
15 int main()
16 {
17 cout<<"Enter An N:"<<endl;
18 unsigned int number=0;
19 cin>>number;
20 cout<<Fibonacci(number)<<endl;
21 return 0;
22 }
然而我们不禁要问：虽然用这道题使得递归变得容易理解，那么这道题用递归是最好的吗？我们用计算f(10)来说明：
从图中可以看出：在计算F(10)要计算F(9)和F(8)，二要计算F(9)，又要计算F(8)，以此类推，要计算很多重复的值，这样就浪费了时间，而计算重复值的数量随着N值而急剧增大，事实上该算法的时间复杂度随着n值呈指数增长。不信，大家可以取N=100看看递归要慢到什么程度。
分析2：既然上面算法的主要缺点是要重复的计算很多不必要的数值，那么我们的想法是不计算那些重复的值，我们考虑对于任意一个N值，我们从第一项开始，不断的累积下去，这样就可以避免重复计算。由于是从第一项逐次求解，所以该算法的时间复杂度为O(n)。代码如下：
1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 long Fibonacci(unsigned int n)
6 {
7 if(n == 0)
8 return 0;
9 if(n == 1)
10 return 1;
11 long firstItem = 0;
12 long secondItem = 1;
13 long fib = 0;
14 unsigned int cnt = 1;
15 while(cnt < n)
16 {
17 fib = firstItem + secondItem;
18 firstItem = secondItem;
19 secondItem = fib;
20 ++cnt;
21 }
22 return fib;
23 }
24
25 int main()
26 {
27 cout<<"Enter A Number:"<<endl;
28 unsigned int number;
29 cin>>number;
30 cout<<Fibonacci(number)<<endl;
31 return 0;
32 }
分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：
我们可以用数学归纳法证明如下：
Step1: n=2时
Step2：设n=k时，公式成立，则有：
等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：
左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。
由Step1和Step2可知，该数学公式成立。
由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。
我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。
实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：
1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 //定义2×2矩阵；
6 struct Matrix2by2
7 {
8 //构造函数
9 Matrix2by2
10 (
11 long m_00,
12 long m_01,
13 long m_10,
14 long m_11
15 )
16 :m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11)
17 {
18 }
19
20 //数据成员
21 long m00;
22 long m01;
23 long m10;
24 long m11;
25 };
26
27 //定义2×2矩阵的乘法运算
28 Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2)
29 {
30 Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);
31 matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;
32 matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;
33 matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;
34 matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;
35 return matrix12;
36
37 }
38
39
40 //定义2×2矩阵的幂运算
41 Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n)
42 {
43 Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);
44 if(n == 1)
45 {
46 matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);
47 }
48 else if(n % 2 == 0)
49 {
50 matrix = MatrixPower(n / 2);
51 matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
52 }
53 else if(n % 2 == 1)
54 {
55 matrix = MatrixPower((n-1) / 2);
56 matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
57 matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));
58 }
59 return matrix;
60 }
61 //计算Fibnacci的第n项
62 long Fibonacci(unsigned int n)
63 {
64 if(n == 0)
65 return 0;
66 if(n == 1)
67 return 1;
68
69 Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);
70 return fibMatrix.m00;
71
72 }
73
74 int main()
75 {
76 cout<<"Enter A Number:"<<endl;
77 unsigned int number;
78 cin>>number;
79 cout<<Fibonacci(number)<<endl;
80 return 0;
81 }
参考文献：
微软、Google等面试题：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200722991933440/
注：
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